В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны единице, найти косинус угла между...

Для нахождения косинуса угла между прямыми AD1 и CE1 в правильной треугольной призме ABCA1B1C1, нам необходимо рассмотреть треугольник A1D1E1, который является прямоугольным треугольником, так как D1 и E1 являются серединами сторон A1C1 и B1C1 соответственно.

Так как все рёбра призмы равны единице, то стороны треугольника A1D1E1 будут равны 1/2 единицы. Таким образом, мы можем применить теорему Пифагора для нахождения длины гипотенузы треугольника A1D1E1:

(1/2)^2 + (1/2)^2 = c^2 1/4 + 1/4 = c^2 1/2 = c^2 c = √(1/2) c = √2 / 2

Теперь, чтобы найти косинус угла между прямыми AD1 и CE1, мы можем воспользоваться формулой косинуса для прямоугольного треугольника:

cos(θ) = adj / hyp где adj - прилежащий к углу катет, а hyp - гипотенуза.

Таким образом, косинус угла между прямыми AD1 и CE1 будет равен: cos(θ) = (1/2) / (√2 / 2) cos(θ) = 1 / √2 cos(θ) = √2 / 2

Ответ: косинус угла между прямыми AD1 и CE1 равен √2 / 2.

Для того чтобы найти косинус угла между прямыми AD1 и CE1 в правильной треугольной призме ABCA1B1C1, где все ребра призмы равны единице, прежде всего определим координаты точек AD1 и CE1.

Поскольку D1 и E1 — середины рёбер A1C1 и B1C1 соответственно, то их координаты будут средними арифметическими координат концов соответствующих рёбер.

1. Определим координаты вершин призмы (предположим, призма находится в стандартном положении):

   • ( A = (0, 0, 0) )
   • ( B = (1, 0, 0) )
   • ( C = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right) )
   • ( A1 = (0, 0, 1) )
   • ( B1 = (1, 0, 1) )
   • ( C1 = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1\right) )

2. Найдем координаты точек D1 и E1:

   • ( D1 = \left(\frac{A1 + C1}{2}\right) = \left(\frac{0 + \frac{1}{2}}{2}, \frac{0 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}, \frac{1 + 1}{2}\right) = \left(\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}, 1\right) )
   • ( E1 = \left(\frac{B1 + C1}{2}\right) = \left(\frac{1 + \frac{1}{2}}{2}, \frac{0 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}, \frac{1 + 1}{2}\right) = \left(\frac{3}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}, 1\right) )

3. Векторы ( \overrightarrow{AD1} ) и ( \overrightarrow{CE1} ):

   • ( \overrightarrow{AD1} = D1 - A = \left(\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}, 1\right) )
   • ( \overrightarrow{CE1} = E1 - C = \left(\frac{3}{4} - \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 - 0\right) = \left(\frac{1}{4}, -\frac{\sqrt{3}}{4}, 1\right) )

4. Для нахождения косинуса угла между этими векторами используем формулу: [ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AD1} \cdot \overrightarrow{CE1}}{|\overrightarrow{AD1}| \cdot |\overrightarrow{CE1}|} ] Где: [ \overrightarrow{AD1} \cdot \overrightarrow{CE1} = \left(\frac{1}{4}\right)\left(\frac{1}{4}\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)\left(-\frac{\sqrt{3}}{4}\right) + (1)(1) = \frac{1}{16} - \frac{3}{16} + 1 = 1 - \frac{2}{16} = \frac{14}{16} = \frac{7}{8} ] [ |\overrightarrow{AD1}| = |\overrightarrow{CE1}| = \sqrt{\left(\frac{1}{4}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{3}{16} + 1} = \sqrt{\frac{20}{16}} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2} ] [ \cos(\theta) = \frac{\frac{7}{8}}{\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2} = \frac{\frac{7}{8}}{\frac{5}{4}} = \frac{7}{8} \cdot \frac{4}{5} = \frac{28}{40} = \frac{7}{10} ]

Таким образом, косинус угла между прямыми AD1 и CE1 равен ( \frac{7}{10} ).

Косинус угла между прямыми AD1 и CE1 равен 1/3.