В правильной треугольной усеченной пирамиде ABC A1B1C1 стороны оснований равны 4 и 6 см, угол C1 CA...

Для нахождения площади боковой поверхности правильной треугольной усеченной пирамиды необходимо вычислить площадь каждой из трех боковых граней и затем их сложить.

Для начала найдем высоту усеченной пирамиды. Обозначим высоту через h. Так как треугольник C1CA является равносторонним, то угол C1AC равен 60 градусов. Таким образом, треугольник C1AC является равносторонним и высота равна стороне основания $C1A$ умноженной на √3/2, то есть h = 4√3.

Теперь можем вычислить площадь каждой боковой грани. Пусть S1, S2 и S3 - площади боковых граней. Площадь каждой грани можно вычислить как S = 0.5 периметр основания высоту.

S1 = 0.5 $4+6$ 4√3 = 20√3 S2 = 0.5 $4+6$ 4√3 = 20√3 S3 = 0.5 $4+6$ 4 = 20

Теперь сложим площади всех трех боковых граней, чтобы найти общую площадь боковой поверхности пирамиды: Sбок = S1 + S2 + S3 = 20√3 + 20√3 + 20 = 40√3 + 20 см²

Итак, площадь боковой поверхности правильной треугольной усеченной пирамиды ABC A1B1C1 равна 40√3 + 20 квадратных сантиметров.

Для решения задачи о нахождении площади боковой поверхности правильной треугольной усеченной пирамиды $ABC{A}_1{B}_1{C}_1$, где стороны оснований равны 4 см и 6 см, а угол $\mathrm{\angle }{C}_{1}CA={60}^{\circ }$, нам понадобятся следующие шаги.

Шаг 1: Визуализация и основные определения

Правильная треугольная усеченная пирамида имеет два основания, которые являются правильными треугольниками, и боковые грани, являющиеся равнобедренными трапециями.

• Нижнее основание $ABC$ — правильный треугольник со стороной 6 см.
• Верхнее основание $A_1{B}_1{C}_1$ — правильный треугольник со стороной 4 см.

Шаг 2: Найдем высоту правильного треугольника

Высота $h$ правильного треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Для нижнего основания $ABC$: $h_{ABC}=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\text{ см}$

Для верхнего основания (A_1B_1C1): [ h{A_1B_1C_1} = \frac{4 \sqrt{3}}{2} = 2 \sqrt{3} \text{ см} ]

Шаг 3: Определение высоты боковой поверхности

Теперь нужно рассмотреть треугольник $C_{1}CA$. По условию $\mathrm{\angle }{C}_{1}CA={60}^{\circ }$, а также $C_{1}C$ является общей высотой треугольника и перпендикулярна основанию $AB$. Длина отрезка $C_{1}C$ равна разности высот треугольников: [ C1C = h{ABC} - h_{A_1B_1C_1} = 3 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} = \sqrt{3} \text{ см} ]

Шаг 4: Расчет боковой поверхности

Боковая поверхность пирамиды состоит из 3 равнобедренных трапеций. Площадь каждой трапеции вычисляется по формуле: $S_{\text{трапеции}}=\frac{(a+b)\cdot h}{2}$

где $a$ и $b$ — основания трапеции, $h$ — высота трапеции. В нашем случае:

• $a=6\text{ см}$
• $b=4\text{ см}$
• $h=C_{1}C=\sqrt{3}\text{ см}$

Подставим эти значения в формулу: $S_{\text{трапеции}}=\frac{(6+4)\cdot \sqrt{3}}{2}=\frac{10\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}{\text{ см}}^2$

Так как у нас 3 таких трапеции, то общая площадь боковой поверхности будет: $S_{\text{боковой поверхности}}=3\cdot 5\sqrt{3}=15\sqrt{3}{\text{ см}}^2$

Ответ

Площадь боковой поверхности правильной треугольной усеченной пирамиды составляет $15\sqrt{3}{\text{ см}}^2$.

Визуализация $Картинка$

Для лучшего понимания, ниже представлена схема правильной треугольной усеченной пирамиды:

           A_1
          /  \
         /    \
      B_1-----C_1
       /      \
      /        \
    A----------C
   / \        / \
  /   \      /   \
 B-----A_1-----B_1

На рисунке:

• Треугольники $ABC$ и $A_1{B}_1{C}_1$ — правильные треугольники.
• Высота отрезка $C_{1}C$ равна $\sqrt{3}$ см.
• Боковые грани — равнобедренные трапеции $например,(A_{1}A{C}_{1}C$).

Так, мы нашли площадь боковой поверхности правильной треугольной усеченной пирамиды и представили соответствующую визуализацию.