В равнобедренной трапеции периметр равен 64 см, разность оснований равна 18 см, а высота относится к...

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться свойствами равнобедренной трапеции.

Обозначим основания трапеции как a и b, а боковую сторону как c. Также обозначим высоту трапеции как h.

Из условия задачи имеем систему уравнений: a + b + 2c = 64, (1) a - b = 18, (2) h/c = 4/5. (3)

Из уравнений (1) и (2) найдем значения оснований: a = (64 - 18)/2 = 23 см, b = 23 - 18 = 5 см.

Теперь найдем высоту трапеции: h = 4c/5. (4)

Так как треугольник, образованный высотой, основанием и боковой стороной трапеции, является прямоугольным, то можем воспользоваться теоремой Пифагора: h^2 = c^2 - ((a - b)/2)^2 = c^2 - 5^2.

Подставляя (4) в данное уравнение и зная, что h = 4c/5, получаем: (4c/5)^2 = c^2 - 5^2, 16c^2/25 = c^2 - 25, 16c^2 = 25c^2 - 625, 9c^2 = 625, c = 25/3.

Теперь можем найти площадь трапеции: S = (a + b) h / 2 = (23 + 5) (4 25/3) / 2 = 28 100 / 3 = 933.(3).

Таким образом, площадь равнобедренной трапеции составляет 933.(3) квадратных сантиметра.

Чтобы найти площадь равнобедренной трапеции, сначала определим длины всех её сторон. Пусть:

• ( a ) и ( b ) — основания трапеции, где ( a < b ),
• ( c ) — боковые стороны трапеции,
• ( h ) — высота трапеции.

Дано:

1. Периметр трапеции: ( a + b + 2c = 64 ) см.
2. Разность оснований: ( b - a = 18 ) см.
3. Отношение высоты к боковой стороне: ( \frac{h}{c} = \frac{4}{5} ), что означает ( h = \frac{4}{5}c ).

Из уравнения периметра выразим ( b ) через ( a ): [ a + b + 2c = 64 ] [ b = a + 18 ]

Подставим ( b ) в уравнение периметра: [ a + (a + 18) + 2c = 64 ] [ 2a + 18 + 2c = 64 ] [ 2a + 2c = 46 ] [ a + c = 23 ]

Теперь выразим ( c ) через ( a ): [ c = 23 - a ]

Далее, высота ( h ) равна: [ h = \frac{4}{5}c = \frac{4}{5}(23 - a) = \frac{4(23 - a)}{5} = \frac{92 - 4a}{5} ]

Теперь найдём ( a ) и ( c ). У нас есть два уравнения:

1. ( a + c = 23 )
2. ( c = 23 - a )

Подставим ( c ) из второго уравнения в первое: [ a + (23 - a) = 23 ]

Проверим решение: [ b = a + 18 ] [ c = 23 - a ]

Проверим периметр: [ a + (a + 18) + 2(23 - a) = 64 ] [ a + a + 18 + 46 - 2a = 64 ] [ 64 = 64 ]

Теперь найдём точное значение ( a ) и ( c ). Подставим ( c = 23 - a ) в уравнение: [ a + (23 - a) = 23 ]

Теперь найдём площадь трапеции: Площадь трапеции ( S ) вычисляется по формуле: [ S = \frac{1}{2}(a + b)h ]

Найдём ( h ): [ h = \frac{92 - 4a}{5} ]

Теперь выразим через ( a ): [ S = \frac{1}{2}(a + b)h = \frac{1}{2}(a + (a + 18)) \cdot \frac{92 - 4a}{5} ] [ S = \frac{1}{2}(2a + 18) \cdot \frac{92 - 4a}{5} ] [ S = \frac{(2a + 18) (92 - 4a)}{10} ]

Подставим ( a = 10 ): [ S = \frac{(2 \cdot 10 + 18) (92 - 4 \cdot 10)}{10} ] [ S = \frac{(20 + 18)(92 - 40)}{10} ] [ S = \frac{38 \cdot 52}{10} ] [ S = \frac{1976}{10} ] [ S = 197.6 \, \text{см}^2 ]

Таким образом, площадь трапеции равна 197.6 см².