В равнобедренной трапеции угол при основании равен 45 градусам, а высота равна меньшему основанию. Найти...

Площадь равнобедренной трапеции равна 54 квадратных сантиметра.

Для решения задачи по нахождению площади равнобедренной трапеции, у которой угол при основании равен 45 градусам, высота равна меньшему основанию, а большее основание равно 12 см, необходимо следовать следующим шагам:

1. Обозначение элементов трапеции:

   • Обозначим трапецию (ABCD), где (AB) и (CD) — основания, (AD) и (BC) — боковые стороны.
   • (AB = 12) см (большее основание).
   • (h) — высота трапеции, опущенная из вершины (C) на основание (AB).
   • Углы при основаниях, равные 45 градусам, означают, что углы (DAB) и (BCD) равны 45 градусам.

2. Использование условий задачи:

   • Из условия, что высота (h) равна меньшему основанию (CD), можно записать (h = CD).

3. Вычисление высоты:

   • Рассмотрим прямоугольный треугольник (CDE), где (E) — точка пересечения высоты (h) с основанием (AB).
   • Угол (CDE) равен 45 градусам, поэтому треугольник (CDE) является прямоугольным и равнобедренным.
   • Следовательно, (CE = DE = h).

4. Нахождение длины меньшего основания:

   • Поскольку (h = CD), и треугольник (CDE) равнобедренный с углами 45 градусов, можем записать, что (CD = h).
   • Высота (h) также является длиной меньшего основания (CD).

5. Нахождение длины отрезков на основании (AB):

   • Рассмотрим всю трапецию. Так как трапеция равнобедренная, отрезки (AE) и (BE) будут равны.
   • (AB = AE + CD + BE).
   • Учтем, что (AE = BE) и каждый из них равен (h), так как углы при основании равны 45 градусам и высота делит трапецию на равнобедренные треугольники.
   • Следовательно, (12 = h + h + CD).
   • Так как (h = CD), можно записать (12 = h + h + h = 3h).
   • Отсюда (h = \frac{12}{3} = 4) см.

6. Нахождение площади трапеции:

   • Площадь трапеции (S) рассчитывается по формуле: [ S = \frac{1}{2} \cdot (AB + CD) \cdot h ]
   • Подставим известные значения: [ S = \frac{1}{2} \cdot (12 + 4) \cdot 4 = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 4 = \frac{64}{2} = 32 \, \text{см}^2 ]

Таким образом, площадь данной трапеции равна (32 \, \text{см}^2).

Для решения данной задачи нам нужно знать формулу площади трапеции. Площадь трапеции можно найти по формуле: S = (a + b) * h / 2, где a и b - основания трапеции, h - высота трапеции.

Из условия задачи известно, что угол при основании равен 45 градусам, что означает, что трапеция является равнобедренной. Это значит, что длины боковых сторон равны, а значит, большее основание равно 12 см, а меньшее основание равно b.

Поскольку у нас равнобедренная трапеция, то мы можем разделить ее на два равнобедренных прямоугольных треугольника. Так как у нас уже есть угол при основании равный 45 градусам, то мы можем использовать тригонометрические функции для нахождения высоты h. Если обозначить меньшее основание как b, то получим, что b = h * tg(45 градусов). Также, из равенства сторон равнобедренной трапеции, большее основание равно 12 см, а меньшее основание равно b, то есть 12 = h + b.

Подставим найденное значение b в это уравнение: 12 = h + h * tg(45 градусов). Решив это уравнение, найдем значение h.

После того как мы найдем значение высоты h, можем подставить его в формулу для площади трапеции: S = (12 + b) * h / 2. Таким образом, мы найдем площадь равнобедренной трапеции.