В равнобедренной трапеции угол при основании равен 45°, боковые стороны равны 9√2см, а диагональ – 15см....

Для решения задачи о нахождении периметра и площади равнобедренной трапеции, в которой угол при основании равен 45°, боковые стороны равны (9\sqrt{2}) см, а диагональ – 15 см, давайте рассмотрим шаг за шагом.

Шаг 1: Определение параметров трапеции

Пусть трапеция (ABCD) с основаниями (AB) и (CD) (где (AB > CD)) имеет боковые стороны (AD = BC = 9\sqrt{2}) см. Углы при основании (AB) равны 45°.

Шаг 2: Использование свойств углов и боковых сторон

Так как угол (DAB = 45°), то треугольник (DAB) является равнобедренным прямоугольным треугольником с гипотенузой (AD = 9\sqrt{2}) см. В равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты равны, поэтому: [ DA = DB = 9 \text{ см} ]

Шаг 3: Определение высоты трапеции

Высота трапеции (h) равна катету треугольника (DAB), поэтому: [ h = 9 \text{ см} ]

Шаг 4: Определение длины основания

Треугольник (DAB) является прямоугольным, и его катеты равны по 9 см. Мы можем определить проекцию боковой стороны на основание (AB): [ AB = AD \cdot \cos(45°) + DB \cdot \cos(45°) ] [ AB = 9\sqrt{2} \cdot \cos(45°) + 9\sqrt{2} \cdot \cos(45°) ] [ \cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2} ] [ AB = 9\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 9\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} ] [ AB = 9 \cdot 1 + 9 \cdot 1 ] [ AB = 18 \text{ см} ]

Шаг 5: Нахождение длины другого основания

В равнобедренной трапеции проекции боковых сторон на основание равны. Так как диагональ (AC = 15) см и диагональ делится на две равные части высотой трапеции, то: [ AC^2 = AD^2 + DC^2 ] [ 15^2 = (9\sqrt{2})^2 + DC^2 ] [ 225 = 162 + DC^2 ] [ DC^2 = 63 ] [ DC = \sqrt{63} = 3\sqrt{7} \text{ см} ]

Шаг 6: Нахождение периметра трапеции

Периметр равнобедренной трапеции (P) равен сумме всех её сторон: [ P = AB + CD + AD + BC ] [ P = 18 + 3\sqrt{7} + 9\sqrt{2} + 9\sqrt{2} ] [ P = 18 + 3\sqrt{7} + 18\sqrt{2} \text{ см} ]

Шаг 7: Нахождение площади трапеции

Площадь трапеции (S) можно вычислить по формуле: [ S = \frac{1}{2} (AB + CD) \cdot h ] [ S = \frac{1}{2} (18 + 3\sqrt{7}) \cdot 9 ] [ S = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot (18 + 3\sqrt{7}) ] [ S = \frac{9}{2} \cdot (18 + 3\sqrt{7}) ] [ S = 81 + \frac{27\sqrt{7}}{2} \text{ см}^2 ]

Таким образом, периметр равнобедренной трапеции равен (18 + 3\sqrt{7} + 18\sqrt{2}) см, а её площадь составляет (81 + \frac{27\sqrt{7}}{2}) см².

Из условия задачи мы знаем, что угол при основании равен 45°, а значит угол между основанием и боковой стороной также равен 45°. Так как у нас равнобедренная трапеция, то она разбивается на два прямоугольных треугольника.

Мы можем найти высоту трапеции, используя теорему Пифагора для одного из прямоугольных треугольников:

(9√2)^2 = h^2 + (15/2)^2 162 = h^2 + 112.5 h^2 = 49.5 h = √49.5 h = 7√2

Теперь найдем длину основания трапеции:

(15/2)^2 = x^2 + (7√2)^2 112.5 = x^2 + 98 x^2 = 14.5 x = √14.5 x = √(27.25) x = √2√7.25 x = √2*2.69 x ≈ 3.28

Теперь можем найти периметр трапеции:

Периметр = 2*9√2 + 15 + 3.28 ≈ 18√2 + 18.28 ≈ 46.17

Наконец, найдем площадь трапеции:

Площадь = (основание1 + основание2) высота / 2 Площадь = (15 + 3.28) 7√2 / 2 Площадь ≈ 18.28 * 7√2 / 2 Площадь ≈ 63.98

Таким образом, периметр равнобедренной трапеции составляет примерно 46.17 см, а площадь - около 63.98 квадратных см.

Периметр равнобедренной трапеции равен 36 см, а площадь равна 54 кв. см.