В равнобедренном треугольнике ABC AC=CB=4, BAC=30, отрезок СМ-перпендикуляр к плоскости ABC, CM=4см....

a) Тангенс двугранного угла MABC можно найти, используя формулу тангенса двугранного угла: tg(2α) = 2tg(α) / (1 - tg^2(α)), где α - угол MAB. Из условия известно, что AC = CB = 4, BAC = 30 градусов, CM = 4 см. Так как треугольник ABC равнобедренный, то угол ABC равен 30 градусов. Также можно найти угол BAC = α, так как треугольник ABC равнобедренный, то угол CAB = α. Тогда угол MAB = 180 - 30 - 30 = 120 градусов. tg(2α) = tg(240) = 2tg(120) / (1 - tg^2(120)) tg(120) = √3 tg(240) = 2 * √3 / (1 - (√3)^2) = 2√3 / (1 - 3) = -2√3 / 2 = -√3

Ответ: tg(2α) = -√3

б) Угол между прямой AM и плоскостью MBC можно найти, используя свойство, что угол между прямой и плоскостью равен углу между прямой и ее проекцией на плоскость. Проекция прямой AM на плоскость MBC будет перпендикулярна плоскости MBC и проходить через точку M. Таким образом, угол между прямой AM и плоскостью MBC равен углу между прямой AM и отрезком CM. Треугольник AMC прямоугольный, так как отрезок CM перпендикулярен к плоскости ABC. Так как AC = 4, CM = 4, то угол ACM равен 45 градусов. Таким образом, угол между прямой AM и плоскостью MBC равен 45 градусов.

Ответ: Угол между прямой AM и плоскостью MBC равен 45 градусов.

Рассмотрим равнобедренный треугольник ( ABC ) с ( AC = BC = 4 ) и углом ( \angle BAC = 30^\circ ). Также дано, что отрезок ( CM ) перпендикулярен плоскости ( ABC ) и ( CM = 4 ) см.

а) Для нахождения тангенса двугранного угла ( MABC ), рассмотрим прямоугольный треугольник ( AMC ), где ( CM ) — высота, опущенная из точки ( C ) на плоскость ( ABC ).

Сначала найдем сторону ( AB ) треугольника ( ABC ). В равнобедренном треугольнике с углом при основании ( \angle BAC = 30^\circ ), можно использовать теорему косинусов: [ AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle BAC) ] [ AB^2 = 4^2 + 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \cos(30^\circ) ] [ AB^2 = 16 + 16 - 32 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} ] [ AB^2 = 32 - 16\sqrt{3} ] [ AB = \sqrt{32 - 16\sqrt{3}} ]

Теперь рассмотрим треугольник ( AMC ). В нём ( AM ) является медианой треугольника ( ABC ), опущенной на сторону ( BC ). Поскольку треугольник равнобедренный, медиана будет также высотой и биссектрисой, делящей угол ( \angle BAC ) пополам. Следовательно, ( \angle BAM = 15^\circ ).

В треугольнике ( AMC ): [ \tan(\angle AMC) = \frac{CM}{AM} ]

Найдём ( AM ). В треугольнике ( ABC ) ( AM ) можно найти через синус: [ \sin(\angle BAM) = \frac{AM}{AB} ] [ AM = AB \cdot \sin(15^\circ) ]

Синус угла ( 15^\circ ) можно найти через известное значение: [ \sin(15^\circ) = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ ] [ \sin(15^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} ]

Теперь подставим ( AB ): [ AM = \sqrt{32 - 16\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} ]

Подставим ( AM ) и ( CM ) в формулу для тангенса: [ \tan(\angle AMC) = \frac{CM}{AM} = \frac{4}{\sqrt{32 - 16\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}} ]

б) Угол между прямой ( AM ) и плоскостью ( MBC ). Прямая ( AM ) перпендикулярна плоскости ( ABC ), поэтому угол между ( AM ) и плоскостью ( MBC ) равен углу между прямой ( AM ) и плоскостью ( ABC ), который равен ( 90^\circ ), так как ( CM ) перпендикулярен плоскости ( ABC ).

Соответственно, угол между ( AM ) и плоскостью ( MBC ) равен ( 90^\circ ).