В равнобедренном треугольнике ABC длина основания AB равно корень из 2, угол при основании равен 30...

Периметр равнобедренного треугольника ABC составляет 2 + 2√2.

Для решения задачи нужно найти длины всех сторон треугольника ABC и затем сложить их, чтобы получить периметр.

Итак, начнем с анализа известной информации:

• Треугольник ABC равнобедренный, значит, две его боковые стороны равны.
• Длина основания AB равна √2.
• Угол при основании (углы A и B) равны по 30 градусам.

Первое, что нужно сделать, это найти угол при вершине C. В равнобедренном треугольнике сумма углов равна 180 градусам. Так как два угла при основании равны по 30 градусам, их сумма будет 60 градусов. Следовательно, угол при вершине C: [ \angle C = 180^\circ - 2 \times 30^\circ = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ ]

Теперь рассмотрим треугольник ABC и используем тригонометрические функции для вычисления боковых сторон. В данном случае удобно воспользоваться формулами, связанными с синусом и косинусом.

Рассмотрим треугольник ABC, разрезанный на два прямоугольных треугольника, если провести высоту из вершины C на основание AB. Обозначим точку пересечения высоты с основанием AB как D. В этом случае AD = DB = AB/2 = √2 / 2.

Высота CD является перпендикуляром к AB и делит треугольник ABC на два прямоугольных треугольника ACD и BCD. В каждом из этих прямоугольных треугольников угол при вершине D равен 30 градусам.

Рассмотрим треугольник ACD с углом 30 градусов при вершине A и гипотенузой AC (боковая сторона треугольника ABC). В прямоугольном треугольнике, противолежащая катет AD (которая равна √2 / 2) и гипотенуза AC связаны соотношением: [ \cos(30^\circ) = \frac{AD}{AC} ]

Значение косинуса 30 градусов равно √3 / 2: [ \frac{\sqrt{2}/2}{AC} = \frac{\sqrt{3}}{2} ]

Отсюда находим AC: [ AC = \frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3} ]

Теперь находим AC: [ AC = \frac{\sqrt{6}}{3} ]

Так как треугольник равнобедренный, сторона BC также равна AC: [ BC = AC = \frac{\sqrt{6}}{3} ]

Теперь найдем периметр треугольника ABC: [ P = AB + AC + BC = \sqrt{2} + \frac{\sqrt{6}}{3} + \frac{\sqrt{6}}{3} = \sqrt{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} = \sqrt{2} + \frac{2\sqrt{6}}{3} ]

Таким образом, периметр треугольника ABC равен: [ P = \sqrt{2} + \frac{2\sqrt{6}}{3} ]

Для нахождения периметра равнобедренного треугольника ABC с длиной основания AB равной √2 и углом при основании 30 градусов, нам необходимо найти длину боковой стороны и вычислить периметр.

Поскольку у нас есть равнобедренный треугольник, то угол напротив основания также будет равен 30 градусам. Таким образом, у нас есть равнобедренный треугольник ABC с углами 30-30-120 градусов.

Теперь мы можем воспользоваться тригонометрическими соотношениями для нахождения длины боковой стороны треугольника. Поскольку у нас известна длина основания AB равная √2, мы можем найти длину боковой стороны, обозначим ее как AC.

Так как у нас равнобедренный треугольник, то биссектриса угла при основании будет также являться медианой и высотой. Поэтому AC будет равна √2.

Теперь мы можем найти периметр треугольника ABC, сложив длины всех его сторон: AB + AC + BC = √2 + √2 + √2 = 3√2

Ответ: Периметр треугольника ABC равен 3√2.