В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC на высоте BK, взята точка M. Докажите, что AM=CM....

Для доказательства равенства AM=CM в равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC на высоте BK, рассмотрим треугольники ABM и CBM.

Поскольку треугольник ABC - равнобедренный, то у него углы BAC и BCA равны, а значит, треугольники ABK и CBK также равны по двум сторонам и углу между ними.

Таким образом, у треугольников ABM и CBM равны стороны AB и CB (так как это основание равнобедренного треугольника), угол AMB и угол CMB равны (как углы при основании), и угол ABM равен углу CBM (как углы при равных сторонах).

Из равенства сторон и равенства углов следует, что треугольники ABM и CBM равны, а значит, AM=CM.

Таким образом, доказано, что в равнобедренном треугольнике с основанием на высоте, точка M делит сторону AC пополам.

В равнобедренном треугольнике AM=CM, так как они являются биссектрисами угла A.

В равнобедренном треугольнике ( \triangle ABC ) с основанием ( AC ), высота ( BK ) является также медианой и биссектрисой, так как треугольник равнобедренный. Это значит, что точка ( K ) является одновременно серединой основания ( AC ).

Теперь рассмотрим точку ( M ), взятую на высоте ( BK ). Нам нужно доказать, что ( AM = CM ).

1. Свойства высоты в равнобедренном треугольнике: Поскольку ( BK ) является высотой, медианой и биссектрисой, она делит угол ( \angle ABC ) пополам и также делит отрезок ( AC ) на два равных отрезка: ( AK = KC ).

2. Рассмотрение треугольников: Рассмотрим треугольники ( \triangle AMK ) и ( \triangle CMK ).

   • ( AK = KC ) по свойству медианы.
   • ( \angle AMK = \angle CMK ), так как ( BK ) — это биссектриса угла ( \angle ABC ).
   • ( MK = MK ) общая сторона для обоих треугольников.

3. Критерий равенства треугольников: По двум сторонам и углу между ними (признак равенства треугольников SAS) треугольники ( \triangle AMK ) и ( \triangle CMK ) равны.

4. Следствие из равенства треугольников: Из равенства треугольников ( \triangle AMK \cong \triangle CMK ) следует, что ( AM = CM ).

Таким образом, мы доказали, что ( AM = CM ), используя свойства высоты в равнобедренном треугольнике и равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними.