В равнобедренном треугольнике авс основание ас=28, ab=bc, tg a=10/7. найдите площадь треугольника abc.

Для начала найдем высоту треугольника из вершины A на основание BC. Поскольку AB=BC, то точка пересечения медиан и высоты лежит на середине основания, т.е. точка H - середина отрезка BC. По условию задачи, tg A = 10/7, где A - угол при вершине A. Так как треугольник ABC равнобедренный, то угол B = C. Отсюда следует, что угол A = (180-2B)/2 = 90-B. Так как tg (90-x) = 1/tg x, то tg B = 7/10. Теперь можем найти высоту треугольника из вершины A на основание BC: h = ABtg B = 287/10 = 19,6. Площадь треугольника ABC равна S = 1/2 AB h = 1/2 28 19,6 = 274,4. Ответ: площадь треугольника ABC равна 274,4.

Чтобы найти площадь равнобедренного треугольника ( \triangle ABC ) с основанием ( AC = 28 ), где ( AB = BC ) и (\tan A = \frac{10}{7}), мы можем использовать несколько шагов.

1. Расположение и свойства:

   • Пусть ( AB = BC = x ).
   • Поскольку треугольник равнобедренный, углы при основании ( A ) и ( C ) равны.
   • Угол ( A ) принимает значение при вершине ( B ).

2. Высота треугольника:

   • Пусть высота ( BD ) опущена из вершины ( B ) на основание ( AC ). Тогда ( D ) — середина ( AC ), и ( AD = DC = \frac{28}{2} = 14 ).
   • Высота ( BD ) делит треугольник на два прямоугольных треугольника ( \triangle ABD ) и ( \triangle BDC ).

3. Использование тангенса:

   • В прямоугольном треугольнике ( \triangle ABD ), где угол ( A ), (\tan A = \frac{BD}{AD} = \frac{BD}{14} = \frac{10}{7}).

4. Нахождение высоты:

   • Из уравнения (\frac{BD}{14} = \frac{10}{7}) следует, что: [ BD = 14 \times \frac{10}{7} = 20 ]

5. Нахождение стороны ( AB = BC ):

   • Используя теорему Пифагора в треугольнике ( \triangle ABD ): [ AB^2 = BD^2 + AD^2 = 20^2 + 14^2 = 400 + 196 = 596 ]
   • Следовательно, ( AB = \sqrt{596} ).

6. Площадь треугольника:

   • Площадь ( \triangle ABC ) можно найти по формуле: [ S = \frac{1}{2} \times AC \times BD = \frac{1}{2} \times 28 \times 20 = 280 ]

Таким образом, площадь треугольника ( \triangle ABC ) равна 280 квадратных единиц.