В равнобедренном треугольнике один из углов равен 150 гр., боковая сторона 12 см. Найдите высоту, проведённую...

В равнобедренном треугольнике ( \triangle ABC ) пусть ( AB = AC ) — боковые стороны, ( BC ) — основание, и один из углов, ( \angle BAC ), равен 150°. Длину боковой стороны ( AB ) обозначим как ( a = 12 ) см.

Для нахождения высоты, проведенной к боковой стороне, воспользуемся некоторыми свойствами треугольников и тригонометрией.

1. Разбиение треугольника на два прямоугольных треугольника: Проведем высоту ( AD ) из вершины ( A ) на боковую сторону ( BC ). Эта высота делит треугольник ( \triangle ABC ) на два прямоугольных треугольника ( \triangle ABD ) и ( \triangle ACD ). Так как ( \triangle ABC ) равнобедренный, высота ( AD ) также является медианой и биссектрисой, то есть делит ( \angle BAC ) пополам и ( \angle BAC ) становится 75°.

2. Использование тригонометрии: В правом треугольнике ( \triangle ABD ), угол ( \angle BAD = 75°/2 = 75° ).

3. Нахождение высоты ( AD ): В прямоугольном треугольнике ( \triangle ABD ) используем синус угла 75°. Пусть ( AD ) — высота, проведенная к боковой стороне ( BC ). Тогда: [ \sin(75°) = \frac{AD}{AB} ] [ AD = AB \cdot \sin(75°) ]

4. Вычисление синуса угла 75°: [ \sin(75°) = \sin(45° + 30°) ] По формуле сложения синусов: [ \sin(75°) = \sin(45°) \cos(30°) + \cos(45°) \sin(30°) ] [ \sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin(30°) = \frac{1}{2} ] [ \sin(75°) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} ] [ \sin(75°) = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} ]

5. Подстановка значений: [ AD = 12 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = 3(\sqrt{6} + \sqrt{2}) ]

Таким образом, высота ( AD ), проведенная к боковой стороне равнобедренного треугольника, равна ( 3(\sqrt{6} + \sqrt{2}) ) см.

Для нахождения высоты, проведенной к боковой стороне равнобедренного треугольника, нам необходимо воспользоваться свойствами этого треугольника. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой, биссектрисой и высотой, а также ортогональна основанию. В данном случае у нас имеется треугольник с углом в 150 градусов и боковой стороной равной 12 см.

Для нахождения высоты, проведенной к боковой стороне, можно воспользоваться законом косинусов, так как у нас известны две стороны треугольника и угол между ними. Высота, проведенная к основанию, будет являться противоположной стороной к данному углу.

Давайте обозначим высоту треугольника как h. Тогда можем записать закон косинусов для нашего треугольника:

( h^2 = 12^2 - 12 \cdot 12 \cdot \cos(150^\circ) )

( h^2 = 144 - 144 \cdot \cos(150^\circ) )

( h^2 = 144 - 144 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) )

( h^2 = 144 + 72\sqrt{3} )

( h = \sqrt{144 + 72\sqrt{3}} )

Таким образом, получаем значение высоты, проведенной к боковой стороне равнобедренного треугольника.