В равнобедренном треугольнике с периметром 56 см основание относится к боковой стороне как 2 : 3 . Найдите...

Для решения задачи начнем с обозначения сторон равнобедренного треугольника. Пусть основание треугольника обозначим как ( a ), а боковые стороны как ( b ). По условию, основание относится к боковой стороне как 2:3, что можно записать в виде соотношения:

[ \frac{a}{b} = \frac{2}{3} ]

Отсюда можно выразить ( a ) через ( b ):

[ a = \frac{2}{3}b ]

Также известно, что периметр треугольника равен 56 см. Периметр равнобедренного треугольника можно выразить как сумму всех его сторон:

[ P = a + 2b = 56 ]

Теперь подставим выражение для ( a ) в формулу периметра:

[ \frac{2}{3}b + 2b = 56 ]

Приведем подобные слагаемые. Для этого сначала выразим ( 2b ) с одинаковым знаменателем:

[ \frac{2}{3}b + \frac{6}{3}b = 56 ]

Теперь складываем дроби:

[ \frac{8}{3}b = 56 ]

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе стороны уравнения на 3:

[ 8b = 168 ]

Теперь разделим обе стороны на 8:

[ b = 21 ]

Теперь, зная значение ( b ), найдем ( a ):

[ a = \frac{2}{3} \cdot 21 = 14 ]

Таким образом, мы нашли длины сторон треугольника. В равнобедренном треугольнике стороны равны:

• Основание ( a = 14 ) см
• Боковые стороны ( b = 21 ) см (каждая)

Итак, стороны данного равнобедренного треугольника составляют:

• Основание: 14 см
• Боковые стороны: 21 см (по 21 см каждая)

Проверим, действительно ли периметр равен 56 см:

[ P = a + 2b = 14 + 21 + 21 = 56 \text{ см} ]

Все условия задачи выполнены, и стороны треугольника найдены верно.

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

Дано:

1. Треугольник равнобедренный, значит, две его стороны равны (боковые стороны).
2. Периметр треугольника равен 56 см.
3. Отношение основания к боковой стороне равно ( 2 : 3 ).

Нужно найти длины всех сторон треугольника.

Обозначим:

• Основание треугольника — ( 2x ),
• Длина каждой из боковых сторон — ( 3x ).

Периметр треугольника — это сумма всех его сторон: [ 2x + 3x + 3x = 56. ]

Объединим одночлены: [ 8x = 56. ]

Найдем ( x ): [ x = \frac{56}{8} = 7. ]

Подставим найденное значение ( x ) в выражения для сторон:

• Основание: ( 2x = 2 \cdot 7 = 14 ) см,
• Каждая боковая сторона: ( 3x = 3 \cdot 7 = 21 ) см.

Проверка:

Периметр треугольника равен сумме его сторон: [ 14 + 21 + 21 = 56 \, \text{см}. ] Все верно.

Ответ:

Стороны треугольника:

• Основание — ( 14 \, \text{см} ),
• Боковые стороны — ( 21 \, \text{см} ) каждая.