В равнобедренную трапецию с боковой стороной 17 см вписана окружность диаметра 15 см.Найдите основания...

Для решения данной задачи нам необходимо использовать свойство равнобедренной трапеции, которое гласит: "Диагонали равнобедренной трапеции равны, а средняя линия равна полусумме оснований".

Поскольку в нашем случае вписанная окружность является диаметром, то радиус окружности равен половине диаметра, то есть 15/2 = 7.5 см.

Таким образом, диагонали равнобедренной трапеции равны 15 см (диаметр окружности) и основания трапеции (аб) равны 17 см. Следовательно, по свойству равнобедренной трапеции, средняя линия (м) равна полусумме оснований: м = (а + б) / 2.

Подставляем известные значения: м = (17 + 17) / 2 = 17 см.

Таким образом, основания равнобедренной трапеции равны 17 см.

Для решения задачи найдем основания равнобедренной трапеции, в которую вписана окружность. Даны боковая сторона ( AB = CD = 17 ) см и диаметр окружности ( 15 ) см, а значит радиус окружности ( r = \frac{15}{2} = 7.5 ) см.

Поскольку окружность вписана в трапецию, сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:

[ a + b = AB + CD = 17 + 17 = 34 \text{ см}. ]

Также известно, что в равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, высота ( h ) равна удвоенному радиусу окружности:

[ h = 2r = 2 \times 7.5 = 15 \text{ см}. ]

Теперь воспользуемся свойством вписанной окружности и свяжем его с длиной высоты. В равнобедренной трапеции можно использовать формулу для высоты:

[ h = \sqrt{a \cdot b - \left(\frac{a - b}{2}\right)^2}, ]

где ( a ) и ( b ) — основания трапеции. Подставим в нее выражение для высоты:

[ 15 = \sqrt{a \cdot b - \left(\frac{a - b}{2}\right)^2}. ]

Ранее мы получили, что ( a + b = 34 ). Обозначим ( a ) как большее основание, а ( b ) как меньшее основание. Тогда можем выразить одно основание через другое:

[ b = 34 - a. ]

Подставим это в уравнение для высоты:

[ 15 = \sqrt{a \cdot (34 - a) - \left(\frac{a - (34 - a)}{2}\right)^2}. ]

Упростим выражение:

[ 15 = \sqrt{a \cdot (34 - a) - \left(\frac{2a - 34}{2}\right)^2}. ]

[ 15 = \sqrt{34a - a^2 - \left(a - 17\right)^2}. ]

[ 15 = \sqrt{34a - a^2 - (a^2 - 34a + 289)}. ]

[ 15 = \sqrt{34a - a^2 - a^2 + 34a - 289}. ]

[ 15 = \sqrt{68a - 2a^2 - 289}. ]

Возведем обе стороны в квадрат:

[ 225 = 68a - 2a^2 - 289. ]

Переносим все в одну сторону:

[ 2a^2 - 68a + 514 = 0. ]

Разделим уравнение на 2:

[ a^2 - 34a + 257 = 0. ]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

[ D = 34^2 - 4 \cdot 1 \cdot 257 = 1156 - 1028 = 128. ]

Корни уравнения:

[ a_{1,2} = \frac{34 \pm \sqrt{128}}{2}. ]

[ \sqrt{128} = \sqrt{64 \times 2} = 8\sqrt{2}. ]

[ a_{1,2} = \frac{34 \pm 8\sqrt{2}}{2}. ]

[ a_1 = 17 + 4\sqrt{2}, \quad a_2 = 17 - 4\sqrt{2}. ]

С учетом, что ( a ) — большее основание, получаем:

[ a = 17 + 4\sqrt{2}, \quad b = 17 - 4\sqrt{2}. ]

Таким образом, основания трапеции равны ( 17 + 4\sqrt{2} ) см и ( 17 - 4\sqrt{2} ) см.