В ромбе ABCD угол А равен 60 градусов, АВ = 6 см. Из вершины В на стороны AD и CD проведены перпендикуляры...

Для решения этой задачи нам нужно использовать свойства ромба и прямоугольных треугольников.

Так как угол А ромба ABCD равен 60 градусов, то угол В равен 120 градусов (сумма углов треугольника равна 180 градусов).

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники ВМА и ВКВ. Так как ВМ перпендикулярно AD, то угол ВМА прямой, следовательно, угол ВАМ равен 30 градусов (комплементарный угол к 60 градусам). То же самое касается треугольника ВКВ - угол ВКВ равен 60 градусов, а угол ВКС равен 30 градусов.

Теперь можем посчитать длины отрезков МД и СК. Так как ВМ является высотой треугольника ВАМ, то по теореме Пифагора получаем: (ВМ)^2 = (АВ)^2 - (АМ)^2 (ВМ)^2 = 6^2 - 3^2 (ВМ)^2 = 36 - 9 (ВМ)^2 = 27 ВМ = √27 = 3√3

То же самое делаем для треугольника ВКС: (ВК)^2 = (ВС)^2 - (КС)^2 (ВК)^2 = 6^2 - 3^2 (ВК)^2 = 36 - 9 (ВК)^2 = 27 ВК = √27 = 3√3

Сумма длин отрезков МД и СК равна: МД + СК = 3√3 + 3√3 = 6√3

Итак, сумма длин отрезков МД и СК равна 6√3.

Для начала обратим внимание на основные свойства ромба и условие задачи.

1. В ромбе ABCD все стороны равны, следовательно, AB = BC = CD = DA = 6 см.
2. Угол A равен 60 градусов, а так как противоположные углы ромба равны, угол C также будет 60 градусов. Углы B и D, как смежные с этими углами, будут равны 120 градусов.

Перейдем к трапеции, образованной отрезками BK и BM. Так как BM и BK — перпендикуляры к AD и CD соответственно, то они также будут высотами этих треугольников.

Поскольку ВК и ВМ являются высотами, опущенными на равные стороны ромба из одной вершины, они будут равны. Рассмотрим треугольник ABM. Так как AB = 6 см и угол ABA1 = 60 градусов, то треугольник ABM является равносторонним (угол при вершине B равен 90 градусов, угол MAB равен 30 градусов из-за того, что угол B равен 120 градусов).

Следовательно, BM = ВК = AM = 6sin(30) = 60.5 = 3 см.

MD и CK являются оставшимися частями сторон AD и CD после вычитания AM и BK. Поскольку AM = BM = 3 см и стороны AD и CD равны 6 см, то MD и CK также равны 3 см каждый.

Таким образом, сумма длин отрезков MD и CK равна 3 см + 3 см = 6 см.