В ромбе АВСД на ВС отмечена точка К так, что КС:ВК=3:1. Найти площадь треугольника АВК, если площадь...

Для решения задачи нам необходимо использовать свойство ромба, что диагонали взаимно перпендикулярны и делятся пополам. Обозначим диагонали ромба как AC и BD. Пусть точка К делит сторону ВС в отношении 3:1, тогда ВК = 1/4 ВС и КС = 3/4 ВС.

Так как диагонали ромба делятся пополам, то АК = 1/2 AC и КС = 1/2 BD. Теперь мы можем найти площадь треугольника АВК.

Так как площадь ромба равна 48 см^2, то площадь треугольника АВК равна половине площади ромба. Следовательно, площадь треугольника АВК равна 24 см^2.

Для решения задачи найдем сначала сторону ромба и высоту, а затем используем эти данные для нахождения площади треугольника АВК.

1. Нахождение стороны ромба: Площадь ромба ( S ) выражается через его сторону ( a ) и высоту ( h ) как: [ S = a \cdot h ] В нашем случае: [ a \cdot h = 48 \text{ см}^2 ]

2. Рассмотрим треугольник АВК: В точке К на стороне ВС делится таким образом, что ( КС:ВК = 3:1 ). Это значит, что точка К делит сторону ВС на две части, где одна часть (КС) в три раза больше другой (ВК).

3. Использование симметрии ромба: В ромбе стороны равны и противоположные углы равны. Так как ромб симметричен относительно своих диагоналей, каждая диагональ делит ромб на два равных треугольника.

4. Соотношение отрезков: Поскольку ( КС:ВК = 3:1 ), сторона ВС делится на 4 равные части, где КС составляет 3 части, а ВК — 1 часть от ВС.

5. Площадь треугольника АВК: Площадь треугольника в ромбе можно находить, используя соотношение сторон. Если мы знаем, что треугольник АВК составляет часть площади треугольника АВС, то площадь треугольника АВС равна половине площади ромба, так как диагональ делит ромб на два равных треугольника: [ S{ABC} = \frac{1}{2} \cdot S{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot 48 \text{ см}^2 = 24 \text{ см}^2 ]

6. Использование пропорций: Треугольник ВКС делит треугольник АВС на две части в отношении 3:1. Площадь треугольника ВКС будет в три раза меньше площади треугольника АВК. Обозначим площадь треугольника ВКС как ( S{BKC} ). Тогда: [ S{ABC} = S{ABK} + S{BKC} ] Но ( S{BKC} = \frac{1}{3} S{ABK} ), поэтому: [ 24 = S{ABK} + \frac{1}{3} S{ABK} ] Это уравнение можно представить как: [ 24 = \frac{4}{3} S{ABK} ] Умножив обе стороны уравнения на 3/4, получим: [ S{ABK} = 24 \cdot \frac{3}{4} = 18 \text{ см}^2 ]

Таким образом, площадь треугольника АВК составляет 18 см².