В тетраэдре ABCD даны ребра, выходящие из вершин А: (вектор АВ)=b, (вектор АС)=с, (вектор АD)=d. Выразить...

Для решения задачи выразим остальные векторы рёбер тетраэдра и необходимые векторы через заданные векторы ( \mathbf{b} = \overrightarrow{AB} ), ( \mathbf{c} = \overrightarrow{AC} ), ( \mathbf{d} = \overrightarrow{AD} ).

Векторы рёбер тетраэдра:

1. Вектор (\overrightarrow{BC}): [ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} = -\mathbf{b} + \mathbf{c} ]

2. Вектор (\overrightarrow{BD}): [ \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} = -\mathbf{b} + \mathbf{d} ]

3. Вектор (\overrightarrow{CD}): [ \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AD} = -\mathbf{c} + \mathbf{d} ]

Медиана ( \overrightarrow{DM} ) грани ( BCD ):

Точка ( M ) — это середина ребра ( BC ). Выразим вектор ( \overrightarrow{DM} ).

1. Координаты точки M: [ \overrightarrow{M} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}) = \frac{1}{2}((\overrightarrow{A} + \mathbf{b}) + (\overrightarrow{A} + \mathbf{c})) = \overrightarrow{A} + \frac{1}{2}(\mathbf{b} + \mathbf{c}) ]

2. Вектор (\overrightarrow{DM}): [ \overrightarrow{DM} = \overrightarrow{M} - \overrightarrow{D} = \left(\overrightarrow{A} + \frac{1}{2}(\mathbf{b} + \mathbf{c})\right) - (\overrightarrow{A} + \mathbf{d}) = \frac{1}{2}(\mathbf{b} + \mathbf{c}) - \mathbf{d} ]

Вектор ( \overrightarrow{AQ} ), где ( Q ) — центр тяжести грани ( BCD ):

Центр тяжести ( Q ) делит медианы в отношении 2:1, считая от вершины. Координаты ( Q ) — это среднее арифметическое вершин ( B, C, D ).

1. Координаты точки Q: [ \overrightarrow{Q} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} + \overrightarrow{D}) = \frac{1}{3}((\overrightarrow{A} + \mathbf{b}) + (\overrightarrow{A} + \mathbf{c}) + (\overrightarrow{A} + \mathbf{d})) = \overrightarrow{A} + \frac{1}{3}(\mathbf{b} + \mathbf{c} + \mathbf{d}) ]

2. Вектор (\overrightarrow{AQ}): [ \overrightarrow{AQ} = \overrightarrow{Q} - \overrightarrow{A} = \frac{1}{3}(\mathbf{b} + \mathbf{c} + \mathbf{d}) ]

Таким образом, были найдены выражения для векторов рёбер, медианы и вектора к центру тяжести грани ( BCD ) тетраэдра ( ABCD ).

Для выражения остальных векторов ребер тетраэдра через данные векторы можно воспользоваться следующими формулами:

(вектор BC) = (вектор BA) + (вектор AC) = b + c (вектор BD) = (вектор BA) + (вектор AD) = b + d (вектор CD) = (вектор DC) - (вектор BC) = c - (b + c) = -b

Чтобы найти медиану грани BCD, нужно найти вектор, соединяющий вершину D с центром тяжести грани BCD. Сначала найдем центр тяжести грани BCD, который будет равен среднему арифметическому векторов BC, BD и CD:

(вектор BM) = (1/3) ((вектор BC) + (вектор BD) + (вектор CD)) = (1/3) (b + c + b + d - b) = (1/3) * (2b + c + d)

Теперь найдем вектор DM, соединяющий вершину D с центром тяжести грани BCD:

(вектор DM) = (вектор BM) + (вектор MD) = (1/3) (2b + c + d) + (вектор CD) = (1/3) (2b + c + d) - b

Наконец, чтобы найти вектор AQ, соединяющий вершину A с центром тяжести грани BCD, нужно взять среднее арифметическое векторов AB, AC и AD:

(вектор AQ) = (1/3) ((вектор AB) + (вектор AC) + (вектор AD)) = (1/3) (b + c + d)

Для выражения остальных ребер тетраэдра через данные векторы используется линейная комбинация: (вектор BC) = b + c, (вектор BD) = b + d, (вектор CD) = c + d.

Медиана (вектор DM) грани BCD выражается как: (вектор DM) = (1/3) ((вектор BC) + (вектор BD) + (вектор CD)) = (1/3) (2b + c + d).

Вектор AQ, где Q - цент тяжести грани BCD, выражается как: (вектор AQ) = (1/4) ((вектор BC) + (вектор BD) + (вектор CD) + (вектор AD)) = (1/4) (3b + 2c + 2d).