В тетраэдре ABCD точки M ,K и P -середины ребер AD,BD и DC.Докажите что плоскость MKP параллельно плоскости...

Для доказательства параллельности плоскостей MKP и ABC начнем с того, что точки M, K и P являются серединами ребер AD, BD и DC соответственно.

Известно, что если точка делит отрезок пополам, то вектор, соединяющий эту точку с противоположной вершиной, будет параллелен противоположной грани. В данном случае, векторы MK, KP и MP будут параллельны граням тетраэдра, которые лежат напротив ребер AD, BD и DC соответственно.

1. Вектор MK (M и K - середины AD и BD) лежит в плоскости, параллельной грани ACD.
2. Вектор KP (K и P - середины BD и DC) лежит в плоскости, параллельной грани ABD.
3. Вектор MP (M и P - середины AD и DC) лежит в плоскости, параллельной грани ABD.

Так как все эти векторы лежат в плоскостях, параллельных грани ABC, следовательно, плоскость MKP параллельна плоскости ABC.

Чтобы найти площадь треугольника ABC, учитывая, что площадь треугольника MKP равна 48 см², воспользуемся свойством подобия треугольников.

Треугольник MKP является срединным треугольником для треугольника ABC. Срединный треугольник подобен исходному треугольнику с коэффициентом подобия 1/2 (поскольку все его стороны равны половинам сторон исходного треугольника). Площадь треугольника, подобного другому, изменяется в квадрате коэффициента подобия. Таким образом, площадь треугольника ABC равна площади треугольника MKP, умноженной на (2^2 = 4), потому что коэффициент подобия равен 2.

Таким образом, площадь треугольника ABC = 48 см² × 4 = 192 см².

Для доказательства того, что плоскость MKP параллельна плоскости ABC, рассмотрим следующее:

Поскольку M, K и P являются серединами соответственных ребер тетраэдра ABCD, то отрезки AM и MD, BK и KD, CP и PD делят соответственно стороны треугольников ABC и ABCD пополам. Это означает, что отрезки AM, BK и CP параллельны соответственным сторонам треугольника ABC, а значит, что плоскость MKP параллельна плоскости ABC.

Теперь найдем площадь треугольника ABC. Поскольку площадь треугольника MKP равна 48 см², то мы можем использовать свойство параллельных плоскостей, которое гласит, что площади подобных фигур равны пропорциональны квадратам соответствующих сторон.

Пусть S_ABC и S_MKP - площади треугольников ABC и MKP соответственно. Тогда:

S_ABC / S_MKP = (BC^2 / MK^2) = (BC/ MK)^2

Так как площадь треугольника MKP равна 48 см², мы можем найти отношение BC к MK:

BC / MK = √(S_ABC / S_MKP) = √(S_ABC / 48)

Так как точки M, K и P являются серединами соответственных ребер тетраэдра, то можно сказать, что MK = 1/2 * BC. Подставляя это в уравнение, получим:

BC / (1/2 * BC) = √(S_ABC / 48)

2 = √(S_ABC / 48)

4 = S_ABC / 48

S_ABC = 4 * 48 = 192 см²

Итак, площадь треугольника ABC равна 192 см².

Плоскость MKP параллельна плоскости ABC, так как точки M, K и P являются серединами соответствующих ребер тетраэдра ABCD. Площадь треугольника ABC равна удвоенной площади треугольника MKP, то есть 96 см^2.