В тетраэдре DABC точка М — середина AD, Р принадлежит DC и DP:PC =1:2. Постройте сечение тетраэдра плоскостью,...

Для начала построим сечение плоскостью, проходящей через точки М и Р и параллельной ВС. Поскольку точка М — середина отрезка AD, то вектор MD равен вектору MA. Также, поскольку Р делит отрезок DC в отношении 1:2, то вектор RD равен двум третьим вектора DC. Таким образом, вектор RD равен 2/3 вектора CD.

Теперь найдем вектор, параллельный ВС. Вектор ВС равен 1/2 вектора DC (поскольку точка С делит отрезок BD пополам).

Тогда вектор, параллельный ВС, равен 1/2 вектора DC.

Построим плоскость, проходящую через точки М и Р и параллельную ВС.

Далее найдем точку пересечения этой плоскости с ребрами тетраэдра. Поскольку одна из точек этой плоскости — точка М, то нам нужно найти только одну другую точку пересечения. Для этого используем параметрическое уравнение прямой, проходящей через точки M и Р:

x = 1/3 (2/3 xD + 1/3 xD) = 1/3 xD

y = 1/3 (2/3 yD + 1/3 yD) = 1/3 yD

z = 1/3 (2/3 zD + 1/3 zD) = 1/3 zD

Таким образом, координаты точки пересечения плоскости с ребром DC равны (1/3 xD, 1/3 yD, 1/3 * zD).

Теперь можем найти площадь сечения. Поскольку это сечение является треугольником, то найдем его площадь по формуле площади треугольника:

S = 1/2 a h

Где a — основание треугольника (длина ребра тетраэдра), h — высота треугольника (расстояние от точки пересечения плоскости с ребром до точки М).

Подставляем значения:

S = 1/2 6 (2/3 zD - 1/2 zD) = 3 (1/3 zD) = zD

Таким образом, площадь сечения равна zD, где zD — координата по оси z точки D.

Для решения задачи необходимо построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через точки M и P и параллельной ребру BC. Давайте разберемся с шагами решения.

Шаг 1: Определение точек M и P

1. Точка M — середина отрезка AD. Поскольку AD = 6 (так как все ребра тетраэдра равны), координаты точки M можно выразить как среднее арифметическое координат точек A и D. Если A = (0,0,0) и D = (6,0,0), то M = (3,0,0).

2. Точка P делит отрезок DC в отношении 1:2. Если D = (6,0,0) и C = (0,6,0), то точка P делит DC в отношении 1:2, и координаты точки P могут быть найдены как:
   ( P = \left( \frac{1 \cdot 0 + 2 \cdot 6}{1+2}, \frac{1 \cdot 6 + 2 \cdot 0}{1+2}, 0 \right) = \left( 4, 2, 0 \right) ).

Шаг 2: Плоскость, параллельная BC

Поскольку плоскость должна быть параллельна BC, она будет иметь такое же направление, как и вектор BC. Если B = (0,0,6) и C = (0,6,0), то направляющий вектор BC = (0, 6, -6).

Шаг 3: Уравнение плоскости

Плоскость, проходящая через точки M и P и параллельная BC, можно выразить как: [ (x - M_x, y - M_y, z - M_z) \times n = 0 ] где ( n ) — нормальный вектор плоскости, который будет перпендикулярен направляющему вектору BC и вектору MP.

1. Вектор MP = P - M = (4 - 3, 2 - 0, 0 - 0) = (1, 2, 0).
2. Направляющий вектор BC = (0, 6, -6).
3. Нормальный вектор плоскости ( n ) будет равен векторному произведению векторов MP и BC: [ n = MP \times BC = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 1 & 2 & 0 \ 0 & 6 & -6 \end{vmatrix} = \mathbf{i} (2 \cdot (-6) - 0) - \mathbf{j} (1 \cdot (-6) - 0) + \mathbf{k} (1 \cdot 6 - 0) = (-12, 6, 6) ] Упростим: ( n = (-2, 1, 1) ).

Шаг 4: Уравнение плоскости

Плоскость через точку M (3,0,0) с нормальным вектором (-2, 1, 1): [ -2(x - 3) + 1(y - 0) + 1(z - 0) = 0 ] [ -2x + 6 + y + z = 0 ] [ 2x - y - z = 6 ]

Шаг 5: Найдите точки пересечения с тетраэдром

1. Пересечение с AB (A = (0,0,0), B = (0,0,6)): Условие для точки на AB: x = 0, y = 0, 0 ≤ z ≤ 6. Подставляем в уравнение плоскости: 2(0) - 0 - z = 6 → z = -6 (нет пересечения).

2. Пересечение с AC (A = (0,0,0), C = (0,6,0)): Условие для точки на AC: x = 0, z = 0, 0 ≤ y ≤ 6. Подставляем в уравнение плоскости: 2(0) - y - 0 = 6 → y = -6 (нет пересечения).

3. Пересечение с BD (B = (0,0,6), D = (6,0,0)): Параметризация: (1-t)B + tD = ((1-t)0 + t6, 0, (1-t)6 + t0) = (6t, 0, 6 - 6t). Подставляем в уравнение плоскости: 2(6t) - 0 - (6 - 6t) = 6. Решаем: 12t - 6 + 6t = 6 → 18t = 12 → t = 2/3. Тогда точка пересечения = (4, 0, 2).

4. Пересечение с CD (C = (0,6,0), D = (6,0,0)): Параметризация: (1-t)C + tD = ((1-t)0 + t6, (1-t)6 + t0, 0) = (6t, 6 - 6t, 0). Подставляем в уравнение плоскости: 2(6t) - (6 - 6t) - 0 = 6. Решаем: 12t - 6 + 6t = 6 → 18t = 12 → t = 1. Тогда точка пересечения = (6, 0, 0).

Шаг 6: Площадь сечения

Полученные точки пересечения (4, 0, 2) и (6, 0, 0) образуют отрезок, который является частью сечения, параллельного BC. Так как плоскость параллельна BC, и так как все ребра равны 6, сечение является параллелограммом с основанием, равным длине отрезка между этими точками, и высотой, равной длине стороны BC, деленной на 3 (из-за отношения 1:2).

Длина отрезка = √((6-4)² + (0-0)² + (0-2)²) = √(4 + 4) = √8 = 2√2.

Высота = 6/3 = 2.

Площадь параллелограмма = основание высота = 2√2 2 = 4√2.