В трапеции ABCD основания AD и BC относятся как 3:1. Диагонали трапеции пересекаются в точке О. а) выразите...

Рассмотрим трапецию (ABCD) с основаниями (AD) и (BC), которые относятся как (3:1). Диагонали (AC) и (BD) пересекаются в точке (O).

Часть (а)

Выразим вектор ( \overrightarrow{AC} ) через вектора ( \overrightarrow{AB} ) и ( \overrightarrow{AD} ).

Рассматриваем векторные уравнения: [ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} ]

Зная, что ( BC \parallel AD ) и ( \frac{AD}{BC} = 3 ), мы можем записать: [ \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{BC} ]

С учетом, что ( AD = 3 \cdot BC ), получаем: [ \overrightarrow{DC} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AD} ]

Таким образом: [ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AD} = \frac{4}{3} \overrightarrow{AD} ]

Заметим, что ( \overrightarrow{AB} ) и ( \overrightarrow{BC} ) также могут быть использованы, но это не меняет результата, так как в итоге вектор ( \overrightarrow{AC} ) выражается через ( \overrightarrow{AD} ).

Часть (б)

Выразим вектор ( \overrightarrow{BO} ) через вектора ( \overrightarrow{AD} ) и ( \overrightarrow{AO} ).

Так как ( O ) - точка пересечения диагоналей, делящая их в одинаковом отношении, то: [ \frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD} ]

Поскольку ( AD = 3 \cdot BC ), отношение деления диагоналей будет: [ O \text{ делит } AC \text{ в отношении } 3:1 ]

С учетом этого: [ \overrightarrow{AO} = \frac{3}{4} \overrightarrow{AC} ] [ \overrightarrow{OC} = \frac{1}{4} \overrightarrow{AC} ]

Известно также, что: [ \overrightarrow{BO} = \frac{1}{4} \overrightarrow{BD} ]

Но ( BD = AD - AB ), и поэтому: [ \overrightarrow{BO} = \frac{1}{4} (\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}) ]

Заменим ( \overrightarrow{AB} ) через ( \overrightarrow{AO} ): [ \overrightarrow{AO} = \frac{3}{4} \overrightarrow{AD} ]

Таким образом: [ \overrightarrow{BO} = \frac{1}{4} (\overrightarrow{AD} - \frac{3}{4} \overrightarrow{AD}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \overrightarrow{AD} = \frac{1}{16} \overrightarrow{AD} ]

Часть (в)

Выразим вектор ( \overrightarrow{AO} ) через вектора ( \overrightarrow{DE} ) и ( \overrightarrow{DM} ), где ( E ) и ( M ) - середины сторон ( AB ) и ( BC ) соответственно.

Пусть ( E ) и ( M ) - середины ( AB ) и ( BC ): [ \overrightarrow{E} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} ] [ \overrightarrow{M} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BC} ]

Поскольку ( \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{D} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} ): [ \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{D} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} ]

Аналогично для ( M ): [ \overrightarrow{DM} = \overrightarrow{D} + \frac{1}{2} \overrightarrow{BC} ]

Известно, что ( \overrightarrow{AO} ) делит ( \overrightarrow{AD} ) в отношении ( 3:1 ): [ \overrightarrow{AO} = \frac{3}{4} \overrightarrow{AD} ]

Итак, выражаем ( \overrightarrow{AO} ) через ( \overrightarrow{DE} ) и ( \overrightarrow{DM} ): [ \overrightarrow{AO} = \frac{3}{4} \overrightarrow{AD} ]

Но ( \overrightarrow{DE} ) и ( \overrightarrow{DM} ) также можно выразить через ( \overrightarrow{AD} ) и ( \overrightarrow{BC} ): [ \overrightarrow{AO} = \frac{3}{4} \overrightarrow{AD} = \frac{3}{4} \cdot 4 (\overrightarrow{DE} + \overrightarrow{DM}) = 3 (\overrightarrow{DE} + \overrightarrow{DM}) ]

В итоге: [ \overrightarrow{AO} = 3 (\overrightarrow{DE} + \overrightarrow{DM}) ]

Мы получили окончательные выражения для всех заданных векторов.

а) Вектор AC можно представить как сумму векторов AB и BC. Так как AB = AD, то вектор AC = AD + DC. Также из условия известно, что DC = 1/3 AD. Подставляем это значение и получаем, что вектор AC = AD + 1/3 AD = 4/3 * AD.

б) Воспользуемся теоремой Шевы. Согласно этой теореме, вектор BO можно представить как сумму векторов AO и AB. Так как AB = AD, то вектор BO = AO + AD. Из условия известно, что вектор AO = -OD (вектор AO обратно пропорционален вектору OD). Таким образом, вектор BO = -OD + AD.

в) Вектор АО можно представить как сумму векторов АD и DO. Так как DO = 1/4 AD (по теореме Шевы и условию задачи), то вектор АО = AD + 1/4 AD = 5/4 AD. Также известно, что вектор AD = DE + DM (по теореме Шевы для треугольника ADE). Подставляем это значение и получаем, что вектор АО = DE + DM + 1/4 (DE + DM) = 5/4 * (DE + DM).