В треугольник ABC со сторонами AB=5 BC=8 AC=9,вписана окружность, касающиеся стороны АС в точке К.Найдите...

Чтобы найти расстояние от точки K до точки M, где M — точка пересечения биссектрисы BM с AC, сначала определим несколько ключевых элементов треугольника ABC.

Шаг 1: Полупериметр треугольника

Полупериметр треугольника (s) находится по формуле: [ s = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{5 + 8 + 9}{2} = 11 ]

Шаг 2: Радиус вписанной окружности

Площадь треугольника (ABC) можно найти по формуле Герона: [ \text{Площадь} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} ] где ( a = BC = 8 ), ( b = AC = 9 ), ( c = AB = 5 ).

Подставим значения: [ \text{Площадь} = \sqrt{11(11-8)(11-9)(11-5)} = \sqrt{11 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 6} = \sqrt{396} = 6\sqrt{11} ]

Радиус вписанной окружности (r) можно найти по формуле: [ \text{Площадь} = s \cdot r ] [ r = \frac{\text{Площадь}}{s} = \frac{6\sqrt{11}}{11} ]

Шаг 3: Определение длин отрезков AK, KC

По свойству треугольника, вписанная окружность делит стороны на отрезки, длины которых равны полупериметру минус длина соответствующей стороны. Таким образом: [ AK = s - AB = 11 - 5 = 6 ] [ KC = s - BC = 11 - 8 = 3 ]

Шаг 4: Координаты точек

Возьмем треугольник на координатной плоскости для удобства. Пусть (A = (0, 0)), (B = (5, 0)), и найдем координаты (C) из условия, что (AC = 9) и (BC = 8).

Шаг 5: Уравнение биссектрисы BM

Найдем уравнение биссектрисы BM. Точка M делит сторону AC в отношении частей AB и BC. Выразим это через теорему о биссектрисе: [ \frac{AM}{MC} = \frac{AB}{BC} = \frac{5}{8} ]

Пусть точки (M) имеют координаты ( (x, y) ): [ M = \left( \frac{5 \cdot x_2 + 8 \cdot 0}{5 + 8}, \frac{5 \cdot y_2 + 8 \cdot 0}{5 + 8} \right) = \left( x_2 \cdot \frac{5}{13}, y_2 \cdot \frac{5}{13} \right) ]

Шаг 6: Расстояние от точки K до точки M

Точка K лежит на стороне AC. Координаты точки K будут аналогичными координатам M с учетом деления отрезков. Используя формулу расстояния между двумя точками ( (x_1, y_1) ) и ( (x_2, y_2) ): [ d = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} ]

Подставим найденные координаты: [ d = \sqrt{\left(6 \cdot \frac{5}{13} - 6\right)^2 + \left(0 \cdot \frac{5}{13} - 0\right)^2} = 6 \times \left(1 - \frac{5}{13}\right) = 6 \times \frac{8}{13} = \frac{48}{13} ]

Таким образом, расстояние от точки K до точки M равно (\frac{48}{13}).

Для решения этой задачи нам нужно вспомнить некоторые свойства треугольников и окружностей.

Сначала заметим, что точка К - точка касания вписанной окружности треугольника ABC со стороной AC. Это означает, что отрезок КМ - биссектриса треугольника ABC, так как биссектриса треугольника, проведенная из вершины к стороне, делит эту сторону на отрезки пропорциональные смежным сторонам треугольника.

Теперь нам нужно найти длину отрезка КМ. Для этого воспользуемся формулой для длины биссектрисы треугольника:

BM = (2 AB AC) / (AB + AC)

Подставим известные значения:

BM = (2 5 9) / (5 + 9) = 90 / 14 = 45 / 7

Таким образом, расстояние от точки К до точки М (биссектрисы BM) равно 45 / 7.

Расстояние от точки К до точки М равно 4.