В треугольнике ABC AB = 6 см, BC = 8 см, AC = 10см. Точка F - середина стороны АС. Вычислите площадь...

Для решения задачи начнем с нахождения площади треугольника ABC. Треугольник с заданными сторонами AB = 6 см, BC = 8 см и AC = 10 см является прямоугольным, так как выполняется теорема Пифагора:

[ AB^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2 = AC^2. ]

Таким образом, угол B равен 90 градусам, и треугольник ABC можно рассматривать как прямоугольный.

Площадь треугольника ABC можно найти по формуле:

[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \text{ см}^2. ]

Теперь найдем координаты точек A, B и C, если расположим треугольник в координатной плоскости. Пусть точка B находится в начале координат (0, 0), точка A будет на оси Y, а точка C будет на оси X. Таким образом, можем задать координаты:

• B(0, 0)
• A(0, 6)
• C(8, 0)

Теперь найдем координаты точки F, которая является серединой стороны AC. Координаты точки F можно найти по формуле средней точки:

[ F\left( \frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2} \right) = F\left( \frac{0 + 8}{2}, \frac{6 + 0}{2} \right) = F(4, 3). ]

Теперь у нас есть координаты всех вершин треугольника BFC:

• B(0, 0)
• F(4, 3)
• C(8, 0)

Теперь найдем площадь треугольника BFC. Площадь треугольника, заданного координатами трех вершин (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), можно вычислить по формуле:

[ S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|. ]

Подставляя координаты точек B(0, 0), F(4, 3) и C(8, 0):

[ S_{BFC} = \frac{1}{2} \left| 0(3 - 0) + 4(0 - 0) + 8(0 - 3) \right| = \frac{1}{2} \left| 0 + 0 - 24 \right| = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12 \text{ см}^2. ]

Теперь найдем расстояние от точки C до прямой BF. Уравнение прямой, проходящей через две точки, можно записать в виде:

[ y - y_1 = m(x - x_1), ]

где m — угловой коэффициент:

[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{3 - 0}{4 - 0} = \frac{3}{4}. ]

Таким образом, уравнение прямой BF будет:

[ y = \frac{3}{4}x. ]

Чтобы найти расстояние от точки C(8, 0) до прямой BF, воспользуемся формулой для расстояния d от точки (x0, y0) до прямой Ax + By + C = 0:

[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}. ]

Приведем уравнение прямой к нужному виду:

[ -\frac{3}{4}x + y = 0 \implies 3x - 4y = 0. ]

Здесь A = 3, B = -4, C = 0. Подставляем координаты точки C(8, 0):

[ d = \frac{|3(8) - 4(0) + 0|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|24|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{24}{5} = 4.8 \text{ см}. ]

Таким образом, площадь треугольника BFC равна 12 см², а расстояние от точки C до прямой BF равно 4.8 см.

В данном вопросе рассмотрим треугольник ( \triangle ABC ), в котором ( AB = 6 \, \text{см} ), ( BC = 8 \, \text{см} ), ( AC = 10 \, \text{см} ), и точка ( F ) — середина отрезка ( AC ). Найдем площадь треугольника ( \triangle BFC ) и расстояние от точки ( C ) до прямой ( BF ). Рассмотрим решение поэтапно.

1. Проверим, является ли треугольник ( \triangle ABC ) прямоугольным.

Стороны ( AB = 6 ), ( BC = 8 ), ( AC = 10 ) удовлетворяют теореме Пифагора: [ AB^2 + BC^2 = AC^2 \quad \Rightarrow \quad 6^2 + 8^2 = 10^2 \quad \Rightarrow \quad 36 + 64 = 100. ] Так как равенство выполняется, треугольник ( \triangle ABC ) является прямоугольным с прямым углом при вершине ( B ).

Таким образом:

• ( AB ) — катет,
• ( BC ) — катет,
• ( AC ) — гипотенуза.

2. Найдем площадь треугольника ( \triangle ABC ).

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: [ S{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC. ] Подставляем значения: [ S{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = \frac{1}{2} \cdot 48 = 24 \, \text{см}^2. ]

3. Определим точку ( F ) и её координаты.

Точка ( F ) — середина отрезка ( AC ). Мы можем воспользоваться координатным методом. Пусть:

• ( A(0, 0) ),
• ( B(6, 0) ),
• ( C(0, 8) ).

Тогда координаты точки ( F ) определяются как середина отрезка ( AC ): [ F\left( \frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2} \right). ] Подставляем ( A(0, 0) ) и ( C(0, 8) ): [ F\left( \frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + 8}{2} \right) = F(0, 4). ]

Итак, точка ( F ) имеет координаты ( (0, 4) ).

4. Вычислим площадь треугольника ( \triangle BFC ).

Площадь треугольника с вершинами ( B(x_1, y_1) ), ( F(x_2, y_2) ), ( C(x_3, y3) ) рассчитывается по формуле: [ S{\triangle BFC} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|. ] Подставляем координаты:

• ( B(6, 0) ),
• ( F(0, 4) ),
• ( C(0, 8) ).

Подставляем в формулу: [ S{\triangle BFC} = \frac{1}{2} \left| 6(4 - 8) + 0(8 - 0) + 0(0 - 4) \right|. ] Упростим: [ S{\triangle BFC} = \frac{1}{2} \left| 6(-4) + 0 + 0 \right| = \frac{1}{2} \left| -24 \right| = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12 \, \text{см}^2. ]

Итак, площадь треугольника ( \triangle BFC ) равна ( 12 \, \text{см}^2 ).

5. Найдем расстояние от точки ( C ) до прямой ( BF ).

Уравнение прямой ( BF ) можно найти, зная координаты точек ( B(6, 0) ) и ( F(0, 4) ). Сначала определим угловой коэффициент ( k ): [ k = \frac{y_F - y_B}{x_F - x_B} = \frac{4 - 0}{0 - 6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}. ]

Уравнение прямой имеет вид: [ y = kx + b. ] Подставим координаты точки ( F(0, 4) ) для нахождения свободного члена ( b ): [ 4 = -\frac{2}{3} \cdot 0 + b \quad \Rightarrow \quad b = 4. ] Итак, уравнение прямой ( BF ): [ y = -\frac{2}{3}x + 4. ]

Теперь найдем расстояние от точки ( C(0, 8) ) до прямой ( BF ). Формула расстояния от точки ( (x_0, y_0) ) до прямой ( Ax + By + C = 0 ) имеет вид: [ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}, ] где ( A = -\frac{2}{3} ), ( B = -1 ), ( C = 4 ). Преобразуем уравнение ( y = -\frac{2}{3}x + 4 ) в общий вид: [ \frac{2}{3}x + y - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x + 3y - 12 = 0. ] Здесь ( A = 2 ), ( B = 3 ), ( C = -12 ). Подставляем координаты точки ( C(0, 8) ) в формулу: [ d = \frac{|2 \cdot 0 + 3 \cdot 8 - 12|}{\sqrt{2^2 + 3^2}} = \frac{|0 + 24 - 12|}{\sqrt{4 + 9}} = \frac{|12|}{\sqrt{13}} = \frac{12}{\sqrt{13}}. ]

Рационализируем знаменатель: [ d = \frac{12}{\sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}} = \frac{12\sqrt{13}}{13}. ]

Итак, расстояние от точки ( C ) до прямой ( BF ) равно ( \frac{12\sqrt{13}}{13} \, \text{см} ).

Ответ:

1. Площадь треугольника ( \triangle BFC = 12 \, \text{см}^2 ).
2. Расстояние от точки ( C ) до прямой ( BF = \frac{12\sqrt{13}}{13} \, \text{см} ).

Для начала найдем площадь треугольника ABC с помощью формулы Герона. Полупериметр ( s ) равен:

[ s = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{6 + 8 + 10}{2} = 12 \text{ см}. ]

Теперь вычислим площадь ( S ):

[ S = \sqrt{s(s - AB)(s - BC)(s - AC)} = \sqrt{12(12 - 6)(12 - 8)(12 - 10)} = \sqrt{12 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2} = \sqrt{576} = 24 \text{ см}^2. ]

Так как F - середина стороны AC, площадь треугольника BFC будет равна половине площади треугольника ABC:

[ S{BFC} = \frac{S{ABC}}{2} = \frac{24}{2} = 12 \text{ см}^2. ]

Теперь найдем расстояние от точки C до прямой BF. Поскольку BF - это медиа, и F является серединой AC, расстояние от C до прямой BF будет равно половине высоты треугольника ABC, проведенной из вершины B к стороне AC.

Высота ( h ) треугольника ABC можно найти через площадь:

[ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h \implies h = \frac{2S}{AC} = \frac{2 \cdot 24}{10} = 4.8 \text{ см}. ]

Поскольку F — середина AC, расстояние от C до прямой BF будет равно половине высоты:

[ d = \frac{h}{2} = \frac{4.8}{2} = 2.4 \text{ см}. ]

Итак, ответ: площадь треугольника BFC равна 12 см², расстояние от точки C до прямой BF равно 2.4 см.