В треугольнике ABC на стороне АВ взяли точку К, а на стороне ВС взяли точку N так, чтобы АК:КВ=СN:NB=2:1....

Площадь треугольника АКNC в 3 раза больше площади треугольника KBN.

Чтобы решить задачу, рассмотрим треугольник ABC и точки K и N, расположенные на сторонах AB и BC соответственно, так что отношения отрезков AK:KB и CN:NB равны 2:1.

Шаг 1: Определение координат точек K и N

Пусть длина стороны AB равна c, а BC равна a. Тогда, исходя из данных условий, можно выразить координаты точек K и N следующим образом:

• Точка K делит отрезок AB в отношении 2:1, значит, AK = 2/3c и KB = 1/3c.
• Точка N делит отрезок BC в отношении 2:1, значит, CN = 2/3a и NB = 1/3a.

Шаг 2: Использование теоремы о медианах или формул площади

Для определения отношения площадей треугольников, нам полезно вспомнить, что отношение площадей треугольников с общей вершиной прямо пропорционально отношению оснований, на которые падает высота из этой вершины.

Рассмотрим треугольники $\mathrm{\Delta }AKC$ и $\mathrm{\Delta }KBC$:

• Треугольник $\mathrm{\Delta }AKC$ имеет основание AK и высоту, проведённую из C.
• Треугольник $\mathrm{\Delta }KBC$ имеет основание KB и ту же высоту.

Поскольку AK:KB = 2:1, то площадь треугольника $\mathrm{\Delta }AKC$ будет в два раза больше площади треугольника $\mathrm{\Delta }KBC$: $\text{Площадь }(\mathrm{\Delta }AKC)=2\times \text{Площадь }(\mathrm{\Delta }KBC)$

Шаг 3: Рассмотрение треугольника KBN

Теперь рассмотрим треугольник KBN, который образуется внутри треугольника ABC. Отношение площадей треугольников $\mathrm{\Delta }KBN$ и $\mathrm{\Delta }KBC$ можно определить, используя аналогичный подход:

• Треугольник $\mathrm{\Delta }KBN$ имеет основание KN и высоту, проведённую из B.
• Треугольник $\mathrm{\Delta }KBC$ имеет основание BC и ту же высоту.

Однако, KN не совпадает с ни одной из сторон треугольника ABC, и для упрощения можно рассмотреть треугольник $\mathrm{\Delta }AKNC$ целиком.

Шаг 4: Определение площади треугольника AKNC

Рассматривая треугольник AKNC:

• Важно заметить, что треугольник $\mathrm{\Delta }AKNC$ состоит из $\mathrm{\Delta }AKC$ и $\mathrm{\Delta }KNC$.
• При этом треугольник $\mathrm{\Delta }KNC$, как и треугольник $\mathrm{\Delta }KBC$, имеет основание в 1/3 длины CB, таким образом площадь $\mathrm{\Delta }KNC$ будет составлять 1/3 площади $\mathrm{\Delta }KBC$.

Шаг 5: Общий вывод

Объединив площади: $\text{Площадь }(\mathrm{\Delta }AKNC)=\text{Площадь }(\mathrm{\Delta }AKC)+\text{Площадь }(\mathrm{\Delta }KNC)$ $=2\times \text{Площадь }(\mathrm{\Delta }KBC)+\frac{1}{3}\times \text{Площадь }(\mathrm{\Delta }KBC)$

Теперь, найдём отношение площади $\mathrm{\Delta }AKNC$ к площади $\mathrm{\Delta }KBN$: $\text{Отношение }=\frac{2\times \text{Площадь }(\mathrm{\Delta }KBC)+\frac{1}{3}\times \text{Площадь }(\mathrm{\Delta }KBC)}{\text{Площадь }(\mathrm{\Delta }KBC)}$ $=2+\frac{1}{3}$ $=\frac{6}{3}+\frac{1}{3}$ $=\frac{7}{3}$

Таким образом, площадь треугольника $\mathrm{\Delta }AKNC$ в $\frac{7}{3}$ раза больше площади треугольника $\mathrm{\Delta }KBN$.

Для решения этой задачи нам необходимо использовать соотношение площадей треугольников. Пусть S1 - площадь треугольника KBN, S2 - площадь треугольника AKC, а S3 - площадь треугольника ANC.

Так как отношение сторон AK и KV равно 2:1, то отношение площадей треугольников AKC и KBN также будет 2:1. То есть S2 = 2S1.

Аналогично, так как отношение сторон CN и NB равно 2:1, то отношение площадей треугольников ANC и KBN также будет 2:1. То есть S3 = 2S1.

Таким образом, площадь треугольника AKNC равна сумме площадей треугольников AKC и ANC: S2 + S3 = 2S1 + 2S1 = 4S1.

Ответ: площадь треугольника AKNC в 4 раза больше площади треугольника KBN.