В треугольнике ABC на стороне АВ взяли точку К, а на стороне ВС взяли точку N так, чтобы АК:КВ=СN:NB=2:1....

Площадь треугольника АКNC в 3 раза больше площади треугольника KBN.

Чтобы решить задачу, рассмотрим треугольник ABC и точки K и N, расположенные на сторонах AB и BC соответственно, так что отношения отрезков AK:KB и CN:NB равны 2:1.

Шаг 1: Определение координат точек K и N

Пусть длина стороны AB равна c, а BC равна a. Тогда, исходя из данных условий, можно выразить координаты точек K и N следующим образом:

• Точка K делит отрезок AB в отношении 2:1, значит, AK = 2/3c и KB = 1/3c.
• Точка N делит отрезок BC в отношении 2:1, значит, CN = 2/3a и NB = 1/3a.

Шаг 2: Использование теоремы о медианах или формул площади

Для определения отношения площадей треугольников, нам полезно вспомнить, что отношение площадей треугольников с общей вершиной прямо пропорционально отношению оснований, на которые падает высота из этой вершины.

Рассмотрим треугольники ( \Delta AKC ) и ( \Delta KBC ):

• Треугольник ( \Delta AKC ) имеет основание AK и высоту, проведённую из C.
• Треугольник ( \Delta KBC ) имеет основание KB и ту же высоту.

Поскольку AK:KB = 2:1, то площадь треугольника ( \Delta AKC ) будет в два раза больше площади треугольника ( \Delta KBC ): [ \text{Площадь } (\Delta AKC) = 2 \times \text{Площадь } (\Delta KBC) ]

Шаг 3: Рассмотрение треугольника KBN

Теперь рассмотрим треугольник KBN, который образуется внутри треугольника ABC. Отношение площадей треугольников ( \Delta KBN ) и ( \Delta KBC ) можно определить, используя аналогичный подход:

• Треугольник ( \Delta KBN ) имеет основание KN и высоту, проведённую из B.
• Треугольник ( \Delta KBC ) имеет основание BC и ту же высоту.

Однако, KN не совпадает с ни одной из сторон треугольника ABC, и для упрощения можно рассмотреть треугольник ( \Delta AKNC ) целиком.

Шаг 4: Определение площади треугольника AKNC

Рассматривая треугольник AKNC:

• Важно заметить, что треугольник ( \Delta AKNC ) состоит из ( \Delta AKC ) и ( \Delta KNC ).
• При этом треугольник ( \Delta KNC ), как и треугольник ( \Delta KBC ), имеет основание в 1/3 длины CB, таким образом площадь ( \Delta KNC ) будет составлять 1/3 площади ( \Delta KBC ).

Шаг 5: Общий вывод

Объединив площади: [ \text{Площадь } (\Delta AKNC) = \text{Площадь } (\Delta AKC) + \text{Площадь } (\Delta KNC) ] [ = 2 \times \text{Площадь } (\Delta KBC) + \frac{1}{3} \times \text{Площадь } (\Delta KBC) ]

Теперь, найдём отношение площади ( \Delta AKNC ) к площади ( \Delta KBN ): [ \text{Отношение } = \frac{2 \times \text{Площадь } (\Delta KBC) + \frac{1}{3} \times \text{Площадь } (\Delta KBC)}{\text{Площадь } (\Delta KBC)} ] [ = 2 + \frac{1}{3} ] [ = \frac{6}{3} + \frac{1}{3} ] [ = \frac{7}{3} ]

Таким образом, площадь треугольника ( \Delta AKNC ) в ( \frac{7}{3} ) раза больше площади треугольника ( \Delta KBN ).

Для решения этой задачи нам необходимо использовать соотношение площадей треугольников. Пусть S1 - площадь треугольника KBN, S2 - площадь треугольника AKC, а S3 - площадь треугольника ANC.

Так как отношение сторон AK и KV равно 2:1, то отношение площадей треугольников AKC и KBN также будет 2:1. То есть S2 = 2S1.

Аналогично, так как отношение сторон CN и NB равно 2:1, то отношение площадей треугольников ANC и KBN также будет 2:1. То есть S3 = 2S1.

Таким образом, площадь треугольника AKNC равна сумме площадей треугольников AKC и ANC: S2 + S3 = 2S1 + 2S1 = 4S1.

Ответ: площадь треугольника AKNC в 4 раза больше площади треугольника KBN.