В треугольнике ABC точка K принадлежит стороне AB, а точка P - стороне AC. Отрезок KP||BC. Найдите периметр...

Для решения задачи нам необходимо найти длины сторон треугольника ( \triangle AKP ) и затем сложить их, чтобы получить его периметр.

1. Определим длину отрезка ( AK ):

Поскольку ( AK : KB = 2 : 1 ), мы можем выразить длины отрезков ( AK ) и ( KB ) через переменную. Пусть ( AK = 2x ) и ( KB = x ). Тогда:

[ AK + KB = AB ]

[ 2x + x = 9 \quad \Rightarrow \quad 3x = 9 \quad \Rightarrow \quad x = 3 ]

Отсюда, ( AK = 2x = 6 ) см и ( KB = x = 3 ) см.

2. Определим длину отрезка ( AP ):

Из условия ( KP \parallel BC ) следует, что треугольники ( \triangle AKP ) и ( \triangle ABC ) подобны. Соответственно, отношение сторон этих треугольников будет равно отношению соответствующих сторон ( \frac{AK}{AB} ).

[ \frac{AP}{AC} = \frac{AK}{AB} ]

Подставим известные значения:

[ \frac{AP}{15} = \frac{6}{9} \quad \Rightarrow \quad AP = 15 \times \frac{6}{9} = 15 \times \frac{2}{3} = 10 \text{ см} ]

3. Найдем длину отрезка ( KP ):

Поскольку треугольники подобны, отношение ( \frac{KP}{BC} = \frac{AK}{AB} ):

[ \frac{KP}{12} = \frac{6}{9} \quad \Rightarrow \quad KP = 12 \times \frac{6}{9} = 12 \times \frac{2}{3} = 8 \text{ см} ]

4. Найдем периметр треугольника ( \triangle AKP ):

Периметр треугольника ( \triangle AKP ) равен сумме его сторон:

[ AK + KP + AP = 6 + 8 + 10 = 24 \text{ см} ]

Таким образом, периметр треугольника ( \triangle AKP ) равен 24 см.

Для начала найдем длину отрезка KB. Так как AK : KB = 2 : 1, то можно представить AK как 2х, а KB как х. Таким образом, сумма AK и KB равна 3х, а также сумма длин отрезков AK и KB равна длине стороны AB, то есть 2х + х = 9. Решив это уравнение, получим, что х = 3 см, тогда KB = 3 см, а AK = 6 см.

Теперь найдем длину отрезка KP, который параллелен стороне BC. Так как отрезок KP параллелен отрезку BC, то он также будет параллелен стороне AC, и отношение KP к AP будет таким же, как отношение KB к AB, то есть KP : AP = KB : AB = 3 : 9 = 1 : 3. То есть KP = 1/4 AC = 1/4 15 = 3.75 см.

Теперь можем найти периметр треугольника AKP. Периметр треугольника AKP равен сумме длин его сторон: AK + KP + AP = 6 + 3.75 + 15 = 24.75 см.

Итак, периметр треугольника AKP равен 24.75 см.