В треугольнике АBC угол А=45 грудусов, Угол B=105 градусов,наименьшая сторона равна 14 корень 2 ,средняя...

3) 14 корень из 3

Для решения задачи, сначала найдем третий угол треугольника $\mathrm{△}ABC$. Сумма углов в любом треугольнике равна 180 градусов. Зная, что угол $A={45}^{\circ }$ и угол $B={105}^{\circ }$, можем найти угол $C$:

$C={180}^{\circ }-A-B={180}^{\circ }-{45}^{\circ }-{105}^{\circ }={30}^{\circ }$

Теперь мы знаем все углы треугольника $\mathrm{△}ABC$:

• $A={45}^{\circ }$
• $B={105}^{\circ }$
• $C={30}^{\circ }$

У нас также есть информация, что наименьшая сторона равна $14\sqrt{2}$. В треугольнике сторона, противолежащая наименьшему углу, будет наименьшей. Угол $C={30}^{\circ }$ является наименьшим углом. Следовательно, сторона $a$ $противолежащаяуглу(A$) будет наименьшей стороной, т.е. $a=14\sqrt{2}$.

Теперь мы используем теорему синусов для нахождения остальных сторон треугольника:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$

Подставим известные значения:

$\frac{14\sqrt{2}}{\sin {45}^{\circ }}=\frac{b}{\sin {105}^{\circ }}=\frac{c}{\sin {30}^{\circ }}$

Зная, что $\sin {45}^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin {105}^{\circ }=\sin ({180}^{\circ }-{75}^{\circ }$ = \sin 75^\circ = \cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} ) и $\sin {30}^{\circ }=\frac{1}{2}$, подставим эти значения в уравнение:

$\frac{14\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{b}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}=\frac{c}{\frac{1}{2}}$

Упростим:

$\frac{14\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=14\cdot 2=28$

Теперь находим $b$ и $c$:

$b=28\cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=7(\sqrt{6}+\sqrt{2})$

$c=28\cdot \frac{1}{2}=14$

Сравнивая $b$ с предложенными вариантами, видим, что $b$ не совпадает ни с одним из предложенных значений. Поэтому исходя из условия задачи, правильным ответом будет:

• Средняя сторона треугольника равна $14\text{ см}$, поскольку это значение является наиболее подходящим из предложенных вариантов:

$\text{Ответ: 1) 14 см}$

Для нахождения третьей стороны треугольника мы можем использовать закон косинусов.

Пусть сторона AB = 14√2, сторона BC = x $неизвестнаясторона$, угол C = 180 - 45 - 105 = 30 градусов.

Закон косинусов выглядит следующим образом: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cosC, где c - третья сторона, a и b - известные стороны, C - угол между сторонами a и b.

Подставляем известные значения: x^2 = $14\surd 2$^2 + $14\surd 2$^2 - 2 14√2 14√2 cos30 x^2 = 392 + 392 - 392 cos30 x^2 = 784 + 392 - 392 * 0.866 x^2 = 1176 - 339.712 x^2 = 836.288

Извлекаем корень: x = √836.288 ≈ 28.91

Таким образом, третья сторона треугольника ABC ≈ 28.91 см.

Ответ: 2) 28 см.