В треугольнике ABC угол A=60 градусов, угол B=45 градусов, BC=12. Найдите AC.

Для нахождения стороны AC воспользуемся теоремой косинусов: AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 AB BC cos(60) AC^2 = AB^2 + 12^2 - 2 AB 12 cos(60) AC^2 = AB^2 + 144 - 24AB 0.5 AC^2 = AB^2 + 144 - 12AB Также известно, что угол BAC = 180 - 60 - 45 = 75 градусов Используем теорему синусов для нахождения стороны AB: AB / sin(75) = 12 / sin(45) AB = 12 sin(75) / sin(45) Подставляем AB в формулу для AC: AC^2 = (12 sin(75) / sin(45))^2 + 144 - 12 12 sin(75) / sin(45) AC^2 = 144 sin^2(75) / sin^2(45) + 144 - 144 sin(75) / sin(45) AC^2 = 144 (sin^2(75) / sin^2(45) - sin(75) / sin(45) + 1) AC^2 = 144 (1 - cos^2(75)) / (1 - cos(75)) + 144 AC = sqrt(144 (1 - cos^2(75)) / (1 - cos(75)) + 144)

Для решения задачи, нужно сначала определить, что треугольник ( ABC ) является неравнобедренным, так как все углы разные. Известны угол ( A = 60^\circ ), угол ( B = 45^\circ ), и сторона ( BC = 12 ). Для начала найдем угол ( C ):

[ \angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ ]

Теперь, чтобы найти сторону ( AC ), используем теорему синусов, которая гласит, что в любом треугольнике отношения сторон к синусам противолежащих углов равны:

[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} ]

В нашем случае:

[ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} ]

Подставляем известные значения:

[ \frac{12}{\sin 60^\circ} = \frac{AC}{\sin 45^\circ} ]

Теперь вспомним значения синусов для данных углов:

[ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} ]

Подставляем эти значения в уравнение:

[ \frac{12}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} ]

Решим это уравнение. Сначала упростим левую часть:

[ \frac{12}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 12 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{24}{\sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3} ]

Теперь уравнение принимает вид:

[ 8\sqrt{3} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} ]

Умножим обе части уравнения на (\frac{\sqrt{2}}{2}):

[ AC = 8\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 8 \cdot \frac{\sqrt{6}}{2} = 4\sqrt{6} ]

Таким образом, длина стороны ( AC ) равна ( 4\sqrt{6} ).

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться теоремой синусов, которая гласит:

a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)

Где a, b, c - стороны треугольника, A, B, C - противолежащие им углы.

Известно, что угол A = 60 градусов, угол B = 45 градусов. Также дано, что BC = 12. Нам нужно найти сторону AC.

Сначала найдем угол C, так как сумма углов треугольника равна 180 градусов:

C = 180 - A - B C = 180 - 60 - 45 C = 75 градусов

Теперь можем найти сторону AC, подставив известные данные в теорему синусов:

AC/sin(45) = 12/sin(75)

AC = 12 sin(45) / sin(75) AC ≈ 12 0.707 / 0.966 AC ≈ 8.49

Итак, сторона AC треугольника ABC равна примерно 8.49.