В треугольнике ABC угол B= 120 градусов, а угол A =30 градусов .Точка D принадлежит стороне AC, причём...

Доказательство:

1. Угол BDC тупой, значит, угол ADB острый.
2. Так как угол A = 30 градусов, то угол ABD = 180 - 30 - 120 = 30 градусов.
3. Таким образом, треугольник ABD является равнобедренным.
4. В равнобедренном треугольнике боковая сторона (AB) больше основания (BD).
5. Следовательно, AB больше BD.

Таким образом, доказано, что AB больше BD.

Для начала заметим, что сумма углов треугольника всегда равна 180 градусов. Из условия у нас уже известно, что угол B равен 120 градусам, а угол A равен 30 градусам. Значит, третий угол С равен 180 - 120 - 30 = 30 градусов.

Так как угол BDC тупой, то его значение больше 90 градусов. Поскольку сумма углов треугольника BDC также равна 180 градусов, то угол BCD равен 180 - 120 = 60 градусов.

Теперь рассмотрим треугольник ABD. В нем угол A равен 30 градусам, угол B равен 120 градусам, а угол BDA равен 180 - 30 - 120 = 30 градусов.

Таким образом, в треугольнике ABD два угла равны 30 градусам, что делает его равнобедренным. Значит, сторона AB равна стороне BD. Так как угол BDC тупой, то точка D находится дальше от стороны AC, чем точка B, следовательно, сторона AB больше стороны BD.

Для доказательства того, что ( AB > BD ) в треугольнике ( ABC ) с заданными условиями, рассмотрим следующий анализ:

1. Углы треугольника ( ABC ):

   • Угол ( B = 120^\circ ).
   • Угол ( A = 30^\circ ).
   • Угол ( C ) можно найти, зная, что сумма углов треугольника равна ( 180^\circ ): [ \angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 30^\circ - 120^\circ = 30^\circ. ]

2. Положение точки ( D ):

   • Точка ( D ) находится на стороне ( AC ), и угол ( BDC ) тупой. Это означает, что (\angle BDC > 90^\circ).

3. Анализ угла ( BDC ):

   • Рассмотрим треугольник ( BDC ). Углы ( \angle BDC ), ( \angle DBC ), и ( \angle BCD ) в сумме должны давать ( 180^\circ ).
   • Поскольку (\angle BDC) тупой, то ( \angle BDC > 90^\circ ).
   • Это означает, что оставшаяся сумма углов ( \angle DBC + \angle BCD < 90^\circ ).

4. Сравнение сторон ( AB ) и ( BD ):

   • Рассмотрим треугольники ( ABD ) и ( BDC ).
   • Поскольку (\angle B = 120^\circ) в треугольнике ( ABC ), и это больше, чем ( 90^\circ), ( AB ) является наибольшей стороной в треугольнике ( ABD ).

5. Неравенство треугольника:

   • В треугольнике ( ABD ), по неравенству треугольника, сумма длин любых двух сторон должна быть больше третьей стороны. Таким образом: [ AB + BD > AD. ]
   • В треугольнике ( BDC ), мы имеем: [ BD + DC > BC. ]
   • Однако, поскольку ( \angle BDC > 90^\circ ), то ( BD ) является наибольшей стороной в треугольнике ( BDC ), и ( BD > DC ).

6. Заключение:

   • Учитывая, что в треугольнике ( ABD ) сторона ( AB ) противоположна большему углу ( \angle ADB ) по сравнению с углом ( \angle ABD ) (так как ( \angle BDC > 90^\circ ) и ( \angle B = 120^\circ )), то по теореме о сторонах и углах в треугольнике, сторона ( AB ) будет больше стороны ( BD ).

Таким образом, мы доказали, что ( AB > BD ) в данном треугольнике.