В треугольнике ABC угол C равен 90, AB=40, tgA=55/3√55. Найдите AC

Для решения задачи нужно воспользоваться свойствами прямоугольного треугольника и тангенсом угла. В треугольнике ABC угол (C) равен (90^\circ), (AB) — это гипотенуза, а (AC) и (BC) — катеты.

Дано:

• Угол (C = 90^\circ)
• (AB = 40) (гипотенуза)
• (\tan A = \frac{55}{3\sqrt{55}})

Требуется найти (AC) (катет).

Тангенс угла (A) в прямоугольном треугольнике определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему катету. В данном случае: [ \tan A = \frac{BC}{AC} ]

Подставим известное значение тангенса: [ \tan A = \frac{55}{3\sqrt{55}} ]

Сначала упростим выражение тангенса: [ \tan A = \frac{55}{3\sqrt{55}} = \frac{55}{3 \cdot \sqrt{55}} = \frac{55}{3 \cdot \sqrt{55}} \cdot \frac{\sqrt{55}}{\sqrt{55}} = \frac{55 \cdot \sqrt{55}}{3 \cdot 55} = \frac{\sqrt{55}}{3} ]

Итак, (\tan A = \frac{\sqrt{55}}{3}).

Теперь выразим (BC) через (AC): [ \frac{BC}{AC} = \frac{\sqrt{55}}{3} ] [ BC = \frac{\sqrt{55}}{3} \cdot AC ]

Используем теорему Пифагора для треугольника (ABC): [ AB^2 = AC^2 + BC^2 ]

Подставим (BC) в это уравнение: [ 40^2 = AC^2 + \left(\frac{\sqrt{55}}{3} \cdot AC\right)^2 ]

Упростим выражение: [ 1600 = AC^2 + \left(\frac{\sqrt{55}}{3}\right)^2 \cdot AC^2 ] [ 1600 = AC^2 + \frac{55}{9} \cdot AC^2 ] [ 1600 = AC^2 \left(1 + \frac{55}{9}\right) ] [ 1600 = AC^2 \left(\frac{9 + 55}{9}\right) ] [ 1600 = AC^2 \left(\frac{64}{9}\right) ] [ 1600 = \frac{64}{9} \cdot AC^2 ] [ 1600 \cdot \frac{9}{64} = AC^2 ] [ AC^2 = \frac{14400}{64} ] [ AC^2 = 225 ] [ AC = \sqrt{225} ] [ AC = 15 ]

Таким образом, длина катета (AC) равна 15.

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, так как у нас имеется прямоугольный треугольник ABC, где угол C равен 90 градусов.

Известно, что tg(A) = противолежащий катет / прилежащий катет. Подставим известные значения и найдем противолежащий катет: tg(A) = 55 / 3√55 Противолежащий катет = 55 Прилежащий катет = 3√55

Теперь применим теорему Пифагора: AC^2 = AB^2 + BC^2 AC^2 = 40^2 + (3√55)^2 AC^2 = 1600 + 3^2 * 55 AC^2 = 1600 + 495 AC^2 = 2095

Итак, AC = √2095 ≈ 45.78.