В треугольнике ABC угол С равен 90 градусов, CH-высота, AC=6, tg A=корень из 5 на 2. найдите AH

Для нахождения длины AH воспользуемся теоремой Пифагора: AC^2 = AH^2 + CH^2. Так как угол C прямой, то треугольник ACH прямоугольный. У нас есть AC = 6 и tg A = корень из 5 на 2 = AH / CH. Тогда AH = tg A CH = (корень из 5 на 2) CH. Из теоремы Пифагора получаем: 6^2 = (корень из 5 на 2) CH + CH^2. 36 = 5/2 CH + CH^2. CH^2 + 5/2 * CH - 36 = 0. Решив этот квадратное уравнение, найдем CH и AH.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ( \triangle ABC ), где угол ( C ) равен ( 90^\circ ), а ( CH ) — это высота, опущенная из вершины ( C ) на гипотенузу ( AB ). Даны следующие параметры: ( AC = 6 ) и ( \tan A = \frac{\sqrt{5}}{2} ). Необходимо найти длину отрезка ( AH ).

1. Выражение тангенса угла A:

   Тангенс угла ( A ) в прямоугольном треугольнике определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему катету: [ \tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{\sqrt{5}}{2}. ]

   Нам известно, что ( AC = 6 ). Следовательно: [ \frac{BC}{6} = \frac{\sqrt{5}}{2}. ]

   Отсюда находим ( BC ): [ BC = 6 \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} = 3\sqrt{5}. ]

2. Использование теоремы Пифагора для нахождения гипотенузы AB:

   Применим теорему Пифагора: [ AB^2 = AC^2 + BC^2. ]

   Подставим известные значения: [ AB^2 = 6^2 + (3\sqrt{5})^2 = 36 + 45 = 81. ]

   Таким образом, ( AB = \sqrt{81} = 9 ).

3. Нахождение длины отрезка AH:

   Высота ( CH ) в прямоугольном треугольнике делит гипотенузу на два отрезка, ( AH ) и ( BH ), такие что: [ AH \cdot BH = CH^2. ]

   Также, для высоты ( CH ) справедливо: [ CH = \frac{AC \cdot BC}{AB}. ]

   Подставим значения: [ CH = \frac{6 \cdot 3\sqrt{5}}{9} = 2\sqrt{5}. ]

   Теперь используем свойство: [ AH \cdot BH = (2\sqrt{5})^2 = 20. ]

   Поскольку ( AH + BH = AB = 9 ), и ( AH \cdot BH = 20 ), можно составить уравнение: [ AH \cdot (9 - AH) = 20. ]

   Раскроем скобки и решим квадратное уравнение: [ AH^2 - 9AH + 20 = 0. ]

   Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac = 81 - 80 = 1. ]

   [ AH = \frac{9 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{9 \pm 1}{2}. ]

   Отсюда получаем два корня: [ AH = \frac{10}{2} = 5 \quad \text{и} \quad AH = \frac{8}{2} = 4. ]

   Так как ( AH < \frac{AB}{2} ), правильным решением будет: [ AH = 4. ]

Таким образом, длина отрезка ( AH ) равна 4.

Для решения данной задачи, нам необходимо воспользоваться свойствами прямоугольного треугольника.

Из условия известно, что угол С равен 90 градусов, следовательно, треугольник ABC является прямоугольным.

Также известно, что AC = 6 и tg A = √5/2. Тангенс угла A в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Таким образом, tg A = AH / CH.

Подставим известные значения и найдем CH: tg A = √5/2 √5/2 = AH / CH CH = AH / √5/2 CH = 2AH / √5

Теперь воспользуемся теоремой Пифагора, так как треугольник является прямоугольным: AC^2 = AH^2 + CH^2 6^2 = AH^2 + (2AH/√5)^2 36 = AH^2 + 4AH^2/5 36 = 5AH^2/5 + 4AH^2/5 36 = 9AH^2/5 AH^2 = 36 * 5 / 9 AH^2 = 20 AH = √20 AH = 2√5

Итак, AH равно 2√5.