В треугольнике ABC угол С равен 90°, tg A=√6/12. найти sin A

Для нахождения sin A воспользуемся теоремой Пифагора и связями между тригонометрическими функциями в прямоугольном треугольнике.

Из условия задачи мы знаем, что угол С равен 90°, значит треугольник ABC прямоугольный. Поэтому применяя теорему Пифагора, получаем, что:

AB^2 + BC^2 = AC^2

Далее, так как tg A = √6/12, то tg A = AB/BC. Подставляем это значение в тангенс угла A и получаем:

√6/12 = AB/BC

Отсюда получаем, что AB = √6, а BC = 12.

Теперь можем найти sin A. Используя связь между синусом и катетами в прямоугольном треугольнике, получаем:

sin A = AB/AC = √6/13

Итак, sin A равен √6/13.

В треугольнике ( ABC ) угол ( C ) равен ( 90^\circ ). Это означает, что треугольник является прямоугольным. В таком треугольнике тангенс угла ( A ) определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему катету:

[ \tan A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{\sqrt{6}}{12} ]

Пусть длина противолежащего катета равна ( a ), а длина прилежащего катета равна ( b ). Тогда:

[ \tan A = \frac{a}{b} = \frac{\sqrt{6}}{12} ]

Отсюда следует, что:

[ a = \frac{\sqrt{6}}{12} \cdot b ]

Теперь используем основное тригонометрическое тождество для нахождения синуса угла ( A ):

[ \sin A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} ]

Гипотенуза ( c ) в треугольнике ( ABC ) может быть найдена с использованием теоремы Пифагора:

[ c = \sqrt{a^2 + b^2} ]

Подставим выражение для ( a ):

[ a = \frac{\sqrt{6}}{12} \cdot b ]

Тогда:

[ c = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{6}}{12} \cdot b\right)^2 + b^2} ]

Упростим выражение для гипотенузы:

[ c = \sqrt{\left(\frac{6}{144}\right) \cdot b^2 + b^2} = \sqrt{\frac{6}{144} \cdot b^2 + \frac{144}{144} \cdot b^2} ]

[ c = \sqrt{\left(\frac{6 + 144}{144}\right) \cdot b^2} = \sqrt{\frac{150}{144} \cdot b^2} = \sqrt{\frac{25}{24}} \cdot b = \frac{5}{12\sqrt{6}} \cdot b ]

Теперь найдём (\sin A):

[ \sin A = \frac{a}{c} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{12} \cdot b}{\frac{5}{12\sqrt{6}} \cdot b} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{12}}{\frac{5}{12\sqrt{6}}} = \frac{\sqrt{6}}{12} \cdot \frac{12\sqrt{6}}{5} = \frac{6}{5} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{6}{5} ]

Таким образом, синус угла ( A ) равен ( \frac{\sqrt{6}}{6} ).

Пожалуйста, обратите внимание на исправление: (\sin A = \frac{\sqrt{6}}{6}).