В треугольнике АВС АС=ВС=84, высота АН равна 42. Найдите угол С.

Для решения этой задачи нам необходимо воспользоваться теоремой косинусов.

Обозначим угол ВАС как ∠С. Также обозначим длину стороны АВ как а. Тогда из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника АНС, где АН - высота, имеем:

а^2 = 42^2 + (84 - а)^2 а^2 = 1764 + 7056 - 168а + а^2 168а = 8820 а = 52,5

Теперь, применяя теорему косинусов к треугольнику АВС, получаем:

cosС = (52,5^2 + 84^2 - 84^2) / (2 52,5 84) cosС = (2756,25 + 7056 - 7056) / (105 * 84) cosС = 2756,25 / 8820 cosС ≈ 0,3121

Теперь найдем угол С, используя обратную функцию косинуса:

∠C = arccos(0,3121) ∠C ≈ 71,1 градусов

Таким образом, угол С равен приблизительно 71,1 градусов.

Для нахождения угла С воспользуемся теоремой косинусов: cos(C) = (a^2 + b^2 - c^2) / 2ab, где a, b, c - стороны треугольника, соответственно. Так как АС = ВС = 84, то угол C равен 60 градусов.

Для решения задачи найдем угол ( \angle C ) в треугольнике ( ABC ), где ( AC = BC = 84 ) и высота ( AH ) равна 42.

1. Понимание структуры треугольника:

   • Треугольник ( ABC ) является равнобедренным, поскольку ( AC = BC ).
   • Высота ( AH ), проведенная к основанию ( AB ), в равнобедренном треугольнике также является медианой и биссектрисой. Это значит, что точка ( H ) делит основание ( AB ) пополам.

2. Обозначения и известные данные:

   • ( AC = BC = 84 )
   • ( AH = 42 )
   • ( H ) — середина основания ( AB ).

3. Работа с треугольником ( AHC ):

   • Рассмотрим прямоугольный треугольник ( AHC ), где ( AH ) — высота, ( HC ) — половина основания ( AB ), и ( AC ) — гипотенуза.
   • Обозначим ( AH = 42 ) и ( HC = HB = x ). Поскольку ( AB ) разбивается на два равных отрезка ( H ), то ( AB = 2x ).

4. Использование теоремы Пифагора:

   • В прямоугольном треугольнике ( AHC ): [ AC^2 = AH^2 + HC^2 ] Подставим известные значения: [ 84^2 = 42^2 + x^2 ] [ 7056 = 1764 + x^2 ] [ x^2 = 7056 - 1764 ] [ x^2 = 5292 ] [ x = \sqrt{5292} ] [ x = 72.75 ]

5. Определение угла ( \angle C ):

   • Воспользуемся тригонометрической функцией синуса, чтобы найти угол ( \angle AHC ) (или половину угла ( \angle C )), так как: [ \sin(\angle AHC) = \frac{AH}{AC} = \frac{42}{84} = 0.5 ]
   • Таким образом, угол ( \angle AHC ): [ \angle AHC = \arcsin(0.5) = 30^\circ ]
   • Поскольку ( \angle AHC ) составляет половину угла ( \angle C ) в равнобедренном треугольнике ( ABC ): [ \angle C = 2 \times \angle AHC = 2 \times 30^\circ = 60^\circ ]

Итак, угол ( \angle C ) в треугольнике ( ABC ) равен ( 60^\circ ).