В треугольнике АВС АВ=4см, ВС=5см, АС=6см.Сравните углы А, В и С

Для сравнения углов треугольника ABC воспользуемся теоремой косинусов. Дано, что стороны треугольника равны AB = 4 см, BC = 5 см, AC = 6 см.

Сначала найдем угол A. По теореме косинусов:

cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / 2bc,

где a, b, c - стороны треугольника, A - угол между сторонами b и c.

cos(A) = (5^2 + 6^2 - 4^2) / (2 5 6) = (25 + 36 - 16) / 60 = 45 / 60 = 0.75.

Угол A = arccos(0.75) ≈ 41.41°.

Аналогично находим углы B и C:

cos(B) = (a^2 + c^2 - b^2) / 2ac,

cos(B) = (4^2 + 6^2 - 5^2) / (2 4 6) = (16 + 36 - 25) / 48 = 27 / 48 = 0.5625.

Угол B = arccos(0.5625) ≈ 56.31°.

cos(C) = (a^2 + b^2 - c^2) / 2ab,

cos(C) = (4^2 + 5^2 - 6^2) / (2 4 5) = (16 + 25 - 36) / 40 = 5 / 40 = 0.125.

Угол C = arccos(0.125) ≈ 81.87°.

Итак, углы треугольника ABC равны приблизительно 41.41° (A), 56.31° (B) и 81.87° (C).

Чтобы сравнить углы в треугольнике ( \triangle ABC ) с известными сторонами ( AB = 4 ) см, ( BC = 5 ) см и ( AC = 6 ) см, мы можем использовать неравенство треугольника и теорему косинусов.

Шаг 1: Проверка возможности существования треугольника

Сначала убедимся, что данные стороны могут образовать треугольник. Согласно неравенству треугольника, сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны:

1. ( AB + BC = 4 + 5 = 9 > 6 = AC )
2. ( AB + AC = 4 + 6 = 10 > 5 = BC )
3. ( BC + AC = 5 + 6 = 11 > 4 = AB )

Все условия выполнены, следовательно, треугольник действительно существует.

Шаг 2: Применение теоремы косинусов

Для сравнения углов используем теорему косинусов. Теорема гласит, что для стороны ( a ) противолежащей углу ( A ):

[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos A ]

Для угла ( A ):

[ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} ]

Подставим значения сторон для каждого угла.

Угол A

Сторона противоположная углу ( A ) - ( BC = 5 ) см:

[ \cos A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{4^2 + 6^2 - 5^2}{2 \cdot 4 \cdot 6} = \frac{16 + 36 - 25}{48} = \frac{27}{48} = \frac{9}{16} ]

Угол B

Сторона противоположная углу ( B ) - ( AC = 6 ) см:

[ \cos B = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{4^2 + 5^2 - 6^2}{2 \cdot 4 \cdot 5} = \frac{16 + 25 - 36}{40} = \frac{5}{40} = \frac{1}{8} ]

Угол C

Сторона противоположная углу ( C ) - ( AB = 4 ) см:

[ \cos C = \frac{BC^2 + AC^2 - AB^2}{2 \cdot BC \cdot AC} = \frac{5^2 + 6^2 - 4^2}{2 \cdot 5 \cdot 6} = \frac{25 + 36 - 16}{60} = \frac{45}{60} = \frac{3}{4} ]

Шаг 3: Сравнение углов

Поскольку косинус угла обратно пропорционален величине угла (при ( 0 \leq \cos \theta \leq 1 )), сравнивая значения косинусов, можем определить порядок углов:

• (\cos A = \frac{9}{16})
• (\cos B = \frac{1}{8})
• (\cos C = \frac{3}{4})

Поскольку (\frac{3}{4} > \frac{9}{16} > \frac{1}{8}), из этого следует, что:

• Угол ( C ) самый маленький.
• Угол ( A ) больше ( C ), но меньше ( B ).
• Угол ( B ) самый большой.

Таким образом, углы располагаются в порядке возрастания: ( \angle C < \angle A < \angle B ).