В треугольнике АВС угол А =45 градусов,угол С =30 градусов,ВС=6см. Найдите стороны АВ и АС треугольника...

В треугольнике ( \triangle ABC ) даны: угол ( A = 45^\circ ), угол ( C = 30^\circ ) и сторона ( BC = 6 ) см. Нам нужно найти стороны ( AB ) и ( AC ), а также площадь треугольника.

Шаг 1: Найти угол B

Сумма углов в треугольнике равна ( 180^\circ ). Поэтому угол ( B ) можно найти как: [ B = 180^\circ - A - C = 180^\circ - 45^\circ - 30^\circ = 105^\circ. ]

Шаг 2: Использовать теорему синусов

Теорема синусов утверждает, что в любом треугольнике: [ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} ] где ( a, b, c ) — длины сторон, а ( A, B, C ) — противоположные углы.

Известно, что ( c = BC = 6 ) см. Используя теорему синусов, найдем стороны ( AB = c ) и ( AC = b ).

Найти сторону ( AB = c )

[ \frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A} ] [ \frac{AB}{\sin 30^\circ} = \frac{6}{\sin 45^\circ} ] [ \frac{AB}{0.5} = \frac{6}{\frac{\sqrt{2}}{2}} ] [ AB = 6 \cdot \frac{0.5}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 6 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} ] [ AB = 6\sqrt{2} ]

Найти сторону ( AC = b )

[ \frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A} ] [ \frac{AC}{\sin 105^\circ} = \frac{6}{\sin 45^\circ} ] [ \frac{AC}{\sin 105^\circ} = \frac{6}{\frac{\sqrt{2}}{2}} ] [ AC = 6 \cdot \frac{\sin 105^\circ}{\frac{\sqrt{2}}{2}} ] [ AC = 6 \cdot \frac{\sin(180^\circ - 75^\circ)}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 6 \cdot \frac{\sin 75^\circ}{\frac{\sqrt{2}}{2}} ]

Используя формулу для синуса суммы, (\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ ), мы получаем: [ \sin 75^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 0.5 = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} ]

Подставим значение: [ AC = 6 \cdot \frac{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} ] [ AC = 6 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2\sqrt{2}} ] [ AC = 3 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{2}} ]

Шаг 3: Найти площадь треугольника

Площадь треугольника можно найти по формуле: [ S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AC \cdot \sin A ] [ S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot AC \cdot \sin 45^\circ ] [ S = 3 \cdot AC \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} ]

Подставим значение ( AC ): [ S = 3 \cdot \frac{3(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} ] [ S = \frac{9(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} ]

Таким образом, найденные стороны: ( AB = 6\sqrt{2} ) см, ( AC = 3 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{2}} ) см, и площадь ( S = \frac{9(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} ) квадратных сантиметров.

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться тригонометрическими функциями синус и косинус.

1. Найдем сторону AB: Из углового распределения в треугольнике получаем, что угол B = 180 - 45 - 30 = 105 градусов. Теперь воспользуемся законом синусов: BC/sinB = AB/sinA 6/sin105 = AB/sin45 AB = 6 sin45 / sin105 ≈ 6 0.7071 / 0.966 ≈ 4.36 см

2. Найдем сторону AC: Также воспользуемся законом синусов: BC/sinC = AC/sinB 6/sin30 = AC/sin105 AC = 6 sin105 / sin30 ≈ 6 0.966 / 0.5 ≈ 11.58 см

3. Найдем площадь треугольника ABC: Площадь треугольника можно найти по формуле: S = 0.5 AB AC sinC S = 0.5 4.36 11.58 sin30 ≈ 0.5 4.36 11.58 * 0.5 ≈ 12.63 см^2

Итак, стороны треугольника AB и AC равны примерно 4.36 см и 11.58 см соответственно, а площадь треугольника ABC составляет примерно 12.63 квадратных сантиметра.