В треугольнике АВС угол А = 45 , ВС = 10 см а высота ВD делит сторону АС на отрезки АD = 6 см и DС =8...

Для решения задачи сначала найдем площадь треугольника (ABC) и затем вычислим высоту, проведенную к стороне (BC).

Шаг 1: Найдем площадь треугольника (ABC)

Для удобства обозначим:

• (AB = c)
• (AC = b)
• (BC = a = 10) см

Дано:

• Угол (A = 45^\circ)
• (AD = 6) см
• (DC = 8) см

Сторона (AC = AD + DC = 6 + 8 = 14) см.

Теперь рассмотрим треугольники (ABD) и (ADC) отдельно. Поскольку угол (A = 45^\circ), а высота (BD) является медианой и высотой, мы можем использовать тригонометрические функции для расчета длины (BD).

Шаг 2: Воспользуемся тригонометрией

В треугольнике (ABD):

[ \tan(45^\circ) = \frac{BD}{AD} ]

[ \tan(45^\circ) = 1, \quad поэтому \quad BD = AD = 6 \text{ см} ]

В треугольнике (ADC):

[ \tан(45^\circ) = \frac{BD}{DC} ]

[ \tан(45^\circ) = 1, \quad поэтому \quad BD = DC = 8 \text{ см} ]

Так как (BD) должно быть одинаково в обоих случаях, это противоречит. Следовательно, (BD) не может быть одновременно равно 6 и 8 см. Значит, надо воспользоваться другим методом.

Шаг 3: Найдем (BD) через теорему Пифагора

Пусть (x) - высота (BD). Тогда воспользуемся теоремой Пифагора для треугольников (ABD) и (BDC):

[ AB^2 = AD^2 + BD^2 \quad \Rightarrow \quad c^2 = 6^2 + BD^2 \quad \Rightarrow \quad c^2 = 36 + BD^2 ]

[ AC^2 = DC^2 + BD^2 \quad \Rightarrow \quad b^2 = 8^2 + BD^2 \quad \Rightarrow \quad b^2 = 64 + BD^2 ]

Из этих уравнений видно, что (BD) находится в обоих уравнениях. Решим систему:

[ BD^2 = b^2 - 64 = c^2 - 36 ]

[ b^2 - c^2 = 64 - 36 = 28 ]

Также для ( \triangle ABD ):

[ c = AB = \sqrt{36 + BD^2} ]

Для ( \triangle ADC ):

[ b = AC = \sqrt{64 + BD^2} ]

Теперь решим уравнение для (BD):

[ BD = \sqrt{\left( \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2} \right)} ]

[ BD = \sqrt{\left( \frac{196 + 64 - 100}{2} \right)} = \sqrt{\left( \frac{160}{2} \right)} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} ]

Шаг 4: Найдем площадь треугольника (ABC)

Площадь ( \triangle ABC ):

[ S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 4\sqrt{5} = 20\sqrt{5} \text{ см}^2 ]

Шаг 5: Найдем высоту, проведенную к стороне (BC)

Высота проведенная к (BC):

[ h = \frac{2S}{a} = \frac{2 \cdot 20\sqrt{5}}{10} = 4\sqrt{5} \text{ см} ]

Итак, площадь треугольника (ABC) составляет (20\sqrt{5} \text{ см}^2), а высота, проведенная к стороне (BC), равна (4\sqrt{5} \text{ см}).

Для нахождения площади треугольника ABC по формуле S = 0.5 AB h, где AB - основание треугольника, а h - высота, нам необходимо найти высоту треугольника.

Из условия известно, что BD - высота треугольника, а также что BD является медианой треугольника, то есть делит сторону AC пополам. Поэтому AD = DC = 7 см.

Теперь мы можем найти высоту треугольника по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника ABD: AB^2 = AD^2 + BD^2. Подставляя известные значения, получаем AB^2 = 6^2 + 7^2 = 36 + 49 = 85. Тогда AB = √85 см.

Теперь можем найти площадь треугольника ABC: S = 0.5 AB BD = 0.5 √85 10 = 5√85 кв.см.

Чтобы найти высоту, проведенную к стороне ВС, можно воспользоваться теоремой Пифагора для треугольника BDC: BD^2 = BC^2 - DC^2. Подставляя значения, получаем BD^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36. Тогда BD = 6 см.

Итак, высота, проведенная к стороне ВС, равна 6 см.