В треугольнике АВС угол С равен 90 градусов, AB= 20 tg А = 3/4. Найдите площадь треугольника АВC

Площадь треугольника ABC равна 30 единицам площади.

В треугольнике ABC угол C равен 90 градусам, что означает, что треугольник является прямоугольным. Даны следующие параметры: гипотенуза ( AB = 20 ) и ( \tan A = \frac{3}{4} ).

Чтобы найти площадь треугольника, нам нужно определить длины катетов ( AC ) и ( BC ).

1. Использование тангенса угла A:

   Тангенс угла ( A ) в прямоугольном треугольнике определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему катету. В данном случае: [ \tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{3}{4} ]

   Это означает, что ( BC = 3k ) и ( AC = 4k ) для некоторого положительного числа ( k ).

2. Использование теоремы Пифагора:

   Поскольку треугольник прямоугольный, мы можем применить теорему Пифагора: [ AC^2 + BC^2 = AB^2 ]

   Подставим выражения для ( AC ) и ( BC ): [ (4k)^2 + (3k)^2 = 20^2 ]

   [ 16k^2 + 9k^2 = 400 ]

   [ 25k^2 = 400 ]

   [ k^2 = 16 ]

   [ k = 4 ]

3. Нахождение катетов:

   Теперь можем найти длины катетов: [ AC = 4k = 16 ] [ BC = 3k = 12 ]

4. Вычисление площади треугольника:

   Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле: [ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \times AC \times BC ]

   Подставим найденные значения: [ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \times 16 \times 12 = 96 ]

Таким образом, площадь треугольника ABC равна 96 квадратных единиц.

Для нахождения площади треугольника ABC мы можем воспользоваться формулой площади прямоугольного треугольника: S = 0.5 AB BC, где AB - один из катетов, а BC - другой катет.

Из условия известно, что tg(A) = 3/4. Так как tg(A) = BC / AB, то BC = AB tg(A) = 20 3/4 = 15.

Теперь мы можем подставить значения AB и BC в формулу площади треугольника: S = 0.5 20 15 = 150.

Итак, площадь треугольника ABC равна 150 квадратных единиц.