В треугольнике АВС угол С равен 90 градусов, СН - высота, АВ =49, sin A=4/7 найдите ВН

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Пифагора, так как угол C равен 90 градусов, то треугольник ABC является прямоугольным. Таким образом, AC будет гипотенузой, а AB и BC - катетами.

Из условия известно, что AB = 49, sin A = 4/7. Так как sin A = AB/AC, то AC = AB / (sin A) = 49 / (4/7) = 49 * 7 / 4 = 343 / 4 = 85,75.

Теперь нам нужно найти длину высоты CN. Так как треугольник прямоугольный, то высота CN будет равна BC, а BN - это недостающая часть высоты. Используем теорему Пифагора для треугольника BNC: BN^2 + BC^2 = CN^2.

Так как BC = AB = 49, то BN^2 + 49^2 = 85,75^2. Отсюда получаем BN = √(85,75^2 - 49^2) = √(7350,0625 - 2401) = √4950,0625 ≈ 70,36.

Таким образом, ВН ≈ 70,36.

Для решения задачи необходимо использовать известные свойства прямоугольных треугольников и тригонометрические функции.

Дан треугольник ( \triangle ABC ), в котором угол ( C ) равен ( 90^\circ ), а ( CH ) — высота, опущенная из вершины ( C ) на гипотенузу ( AB ). Из условия нам также известны:

• ( AB = 49 ),
• ( \sin A = \frac{4}{7} ).

В прямоугольном треугольнике ( \sin A = \frac{BC}{AB} ). Подставим известные значения:

[ \frac{BC}{49} = \frac{4}{7} ]

Решим это уравнение относительно ( BC ):

[ BC = 49 \cdot \frac{4}{7} = 28 ]

Теперь найдём ( AC ), используя ( \cos A ). Поскольку ( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 ), то:

[ \cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - \left(\frac{4}{7}\right)^2 = 1 - \frac{16}{49} = \frac{33}{49} ]

Следовательно, ( \cos A = \sqrt{\frac{33}{49}} = \frac{\sqrt{33}}{7} ).

Теперь используем ( \cos A ) для нахождения ( AC ):

[ \cos A = \frac{AC}{AB} ]

[ \frac{AC}{49} = \frac{\sqrt{33}}{7} ]

Отсюда:

[ AC = 49 \cdot \frac{\sqrt{33}}{7} = 7\sqrt{33} ]

Теперь найдём длину отрезка ( BH ) — проекции ( BC ) на гипотенузу ( AB ). В прямоугольном треугольнике высота, опущенная на гипотенузу, делит её на отрезки, пропорциональные квадратам катетов. То есть:

[ \frac{BH}{AB} = \left(\frac{BC}{AB}\right)^2 = \left(\frac{4}{7}\right)^2 = \frac{16}{49} ]

Тогда:

[ BH = AB \cdot \frac{16}{49} = 49 \cdot \frac{16}{49} = 16 ]

Таким образом, длина отрезка ( BH ) равна 16.