В треугольнике мнк о - точка пересечения медиан .выразите вектор мо через вектор мн=х ,мх=у

Для нахождения вектора MO через вектор MN = X и MH = Y воспользуемся свойствами медиан треугольника.

Медиана треугольника делит сторону, к которой она проведена, в отношении 2:1. Таким образом, вектор MO можно представить как сумму векторов MN и NH, пропорционально их длинам.

Так как MN = X и MH = Y, то вектор MO можно представить как: MO = MN + NH = X + 2Y

Итак, вектор MO через вектор MN = X и MH = Y равен X + 2Y.

В треугольнике ( \triangle MNK ), точка ( O ) является точкой пересечения медиан. Для того чтобы выразить вектор ( \overrightarrow{MO} ) через векторы ( \overrightarrow{MN} ) и ( \overrightarrow{MH} ), давайте сначала рассмотрим несколько свойств медиан и точки их пересечения.

1. Медианы треугольника: Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В треугольнике ( \triangle MNK ) медианы ( MM_1 ), ( NN_1 ) и ( KK_1 ) пересекаются в точке ( O ).

2. Точка пересечения медиан (центр тяжести): Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины треугольника. Это означает, что если мы обозначим медианы как ( MM_1 ), ( NN_1 ) и ( KK_1 ), а ( O ) — точка пересечения медиан, то ( O ) делит каждую медиану следующим образом: [ MO:OM_1 = 2:1 ]

Теперь перейдем к вычислению. Пусть ( \overrightarrow{MN} = \vec{x} ) и ( \overrightarrow{MH} = \vec{y} ). По определению медианы, точка ( N_1 ) — это середина отрезка ( MK ), и аналогично, точка ( H_1 ) — это середина отрезка ( NK ).

Для нахождения вектора ( \overrightarrow{MO} ), сначала найдем координаты точки ( O ).

Пошаговое нахождение вектора ( \overrightarrow{MO} )

1. Определение векторов медиан:

   • ( \overrightarrow{M_1} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{MK}) )
   • ( \overrightarrow{H_1} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{MH} + \overrightarrow{HK}) )

2. Использование свойства точки пересечения медиан:

   • Так как медианы пересекаются в точке ( O ) и делятся в отношении 2:1, то вектор ( \overrightarrow{MO} ) равен ( \frac{2}{3} ) длины медианы ( MM_1 ).

3. Вычисление вектора ( \overrightarrow{MO} ):

   • [ \overrightarrow{MO} = \frac{2}{3} \overrightarrow{MM_1} ]
   • Так как ( M_1 ) — середина ( NK ), то: [ \overrightarrow{M_1} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{N} + \overrightarrow{K}) ]
   • Таким образом, медиана ( MM_1 ) в векторной форме будет: [ \overrightarrow{MM_1} = \overrightarrow{M_1} - \overrightarrow{M} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{MK}) ]

4. Подстановка и упрощение:

   • Так как ( \overrightarrow{MN} = \vec{x} ) и ( \overrightarrow{MH} = \vec{y} ), вектор ( \overrightarrow{MK} ) можно выразить через ( \vec{x} ) и ( \vec{y} ): [ \overrightarrow{MK} = \overrightarrow{MH} - \overrightarrow{MN} = \vec{y} - \vec{x} ]
   • Следовательно: [ \overrightarrow{MM_1} = \frac{1}{2} (\vec{x} + (\vec{y} - \vec{x})) = \frac{1}{2} \vec{y} ]
   • Наконец, выражение для ( \overrightarrow{MO} ): [ \overrightarrow{MO} = \frac{2}{3} \overrightarrow{MM_1} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \vec{y} = \frac{1}{3} \vec{y} ]

Итак, вектор ( \overrightarrow{MO} ) через векторы ( \overrightarrow{MN} = \vec{x} ) и ( \overrightarrow{MH} = \vec{y} ): [ \overrightarrow{MO} = \frac{1}{3} \vec{y} ]