В угол C величиной 90° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках A и B, точка O - центр окружности. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.
В угол C величиной 90° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках A и B, точка O - центр окружности. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.
Для решения данной задачи мы можем воспользоваться тем, что вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Таким образом, угол AOB будет равен удвоенному углу ACB, который является центральным для дуги AB. Учитывая, что угол C равен 90°, то угол ACB также равен 90°.
Следовательно, угол AOB равен 2 * 90° = 180°. Таким образом, ответ на вопрос - угол AOB равен 180 градусов.
В данной задаче угол ( \angle C ) равен ( 90^\circ ), и в этот угол вписана окружность с центром в точке ( O ), которая касается сторон угла в точках ( A ) и ( B ). Нам требуется найти угол ( \angle AOB ).
Поскольку окружность вписана в угол, касательные ( CA ) и ( CB ) равны друг другу, то есть ( CA = CB ).
Теперь рассмотрим треугольник ( \triangle AOB ). Поскольку ( O ) — центр окружности, то отрезки ( OA ) и ( OB ) являются радиусами окружности и, следовательно, равны друг другу: ( OA = OB ). Это значит, что треугольник ( \triangle AOB ) равнобедренный.
Угол ( \angle ACB ) является внешним углом треугольника ( \triangle AOB ) и равен ( 90^\circ ). Согласно свойству внешнего угла треугольника, внешний угол равен сумме двух противоположных внутренних углов. Таким образом, угол ( \angle AOB ) равен ( 180^\circ - 2 \times \angle OAB ).
Поскольку ( \triangle AOB ) равнобедренный, углы при основании равны: ( \angle OAB = \angle OBA ). Пусть эти углы равны ( x ).
Тогда [ 2x = 90^\circ, ] поскольку ( \angle ACB = 90^\circ ).
Следовательно, [ x = 45^\circ. ]
Таким образом, угол ( \angle AOB ) равен [ 180^\circ - 2 \times 45^\circ = 90^\circ. ]
Следовательно, угол ( \angle AOB ) равен ( 90^\circ ).
