В угол C величиной 107° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках A и B, где О - центр...

Чтобы найти угол ( \angle AOB ), необходимо рассмотреть свойства вписанной окружности и геометрические особенности данной задачи.

1. Центр окружности: Центр вписанной окружности ( O ) лежит на биссектрисе угла ( C ). Это связано с тем, что окружность касается обеих сторон угла.

2. Угол между касательными: Если окружность касается сторон угла ( C ) в точках ( A ) и ( B ), то отрезки ( OA ) и ( OB ) являются радиусами окружности и перпендикулярны к касательным в точках касания. Следовательно, углы ( \angle OAB ) и ( \angle OBA ) равны 90°.

3. Четырехугольник ( OACB ): Рассмотрим четырехугольник ( OACB ), где ( OA = OB ) (радиусы окружности), ( \angle AOC ) и ( \angle BOC ) - это углы между радиусами и прямыми углами. Учитывая, что ( \angle AOB ) - центральный угол, и фактически является углом между двумя радиусами ( OA ) и ( OB ), соединяющими центр окружности с точками касания.

4. Вычисление угла ( \angle AOB ):

   • Мы знаем, что сумма углов в четырехугольнике равна 360°. В данном случае: [ \angle AOC + \angle BOC + \angle AOB = 360° ]
   • Поскольку ( \angle AOC = \angle BOC = 90° ) (так как ( OA ) и ( OB ) перпендикулярны к касательным), то: [ 90° + 90° + \angle AOB = 360° ]
   • Таким образом, ( \angle AOB = 360° - 180° = 180° ).

Но мы сделали ошибку, полагая, что все углы в четырехугольнике складываются в 360° без учета действительных условий. В данном случае следует учитывать, что ( \angle AOB = 180° - \angle C ), так как это внешний угол в равнобедренном треугольнике, образованном биссектрисой и радиусами к точкам касания:

[ \angle AOB = 180° - 107° = 73° ]

Таким образом, угол ( \angle AOB ) равен 73°.

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться свойством вписанного угла, который равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Так как угол C равен 107°, то центральный угол, опирающийся на ту же дугу, будет равен 2*107° = 214°.

Теперь мы можем использовать теорему о касательных, которая гласит, что касательная к окружности перпендикулярна радиусу в точке касания. Таким образом, треугольник OAB является прямоугольным, и угол OAB равен 90°.

Наконец, угол АОВ равен сумме углов OAB и AOB, то есть 90° + (214°/2) = 90° + 107° = 197°.

Итак, угол АОВ равен 197°.

Угол АОВ равен 71 градус.