Векторы a и b связаны с векторами m и n равенствами a=5m+4n и b=2m+n. Выразить векторы m и n через векторы...

m = (5a - 2b)/6 n = (-4a + b)/6

Для того чтобы выразить векторы ( m ) и ( n ) через векторы ( a ) и ( b ), нам нужно решить систему линейных уравнений, заданных векторными равенствами: [ \mathbf{a} = 5\mathbf{m} + 4\mathbf{n} ] [ \mathbf{b} = 2\mathbf{m} + \mathbf{n} ]

Эти уравнения можно рассматривать как систему линейных уравнений относительно векторов ( \mathbf{m} ) и ( \mathbf{n} ). Для этого перепишем систему в матричной форме. Обозначим вектора ( \mathbf{m} ) и ( \mathbf{n} ) как неизвестные, а вектора ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) как известные:

[ \begin{pmatrix} 5 & 4 \ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathbf{m} \ \mathbf{n}

\end{pmatrix}

\begin{pmatrix} \mathbf{a} \ \mathbf{b} \end{pmatrix} ]

Обозначим матрицу коэффициентов как ( A ):

[ A = \begin{pmatrix} 5 & 4 \ 2 & 1 \end{pmatrix} ]

Теперь наша задача сводится к нахождению обратной матрицы ( A^{-1} ). Для нахождения обратной матрицы ( 2 \times 2 ) воспользуемся формулой:

[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \ -c & a \end{pmatrix} ]

где ( A = \begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix} ).

В нашем случае:

[ A = \begin{pmatrix} 5 & 4 \ 2 & 1 \end{pmatrix} ]

Рассчитаем определитель матрицы ( A ):

[ \det(A) = 5 \cdot 1 - 4 \cdot 2 = 5 - 8 = -3 ]

Теперь можем найти обратную матрицу ( A^{-1} ):

[ A^{-1} = \frac{1}{-3} \begin{pmatrix} 1 & -4 \ -2 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{3} & \frac{4}{3} \ \frac{2}{3} & -\frac{5}{3} \end{pmatrix} ]

Умножим обратную матрицу на вектор правой части ( \begin{pmatrix} \mathbf{a} \ \mathbf{b} \end{pmatrix} ):

[ \begin{pmatrix} \mathbf{m} \ \mathbf{n} \end{pmatrix} = A^{-1} \begin{pmatrix} \mathbf{a} \ \mathbf{b} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{3} & \frac{4}{3} \ \frac{2}{3} & -\frac{5}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathbf{a} \ \mathbf{b} \end{pmatrix} ]

Теперь произведем умножение матриц:

[ \mathbf{m} = -\frac{1}{3} \mathbf{a} + \frac{4}{3} \mathbf{b} ] [ \mathbf{n} = \frac{2}{3} \mathbf{a} - \frac{5}{3} \mathbf{b} ]

Таким образом, выражения для векторов ( \mathbf{m} ) и ( \mathbf{n} ) через векторы ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) будут следующими:

[ \mathbf{m} = -\frac{1}{3} \mathbf{a} + \frac{4}{3} \mathbf{b} ] [ \mathbf{n} = \frac{2}{3} \mathbf{a} - \frac{5}{3} \mathbf{b} ]

Это и есть искомые выражения для векторов ( \mathbf{m} ) и ( \mathbf{n} ) через векторы ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ).

Для нахождения векторов m и n через векторы a и b можно воспользоваться методом подстановки. Для этого нужно выразить векторы m и n через a и b, а затем подставить их в уравнения, связывающие векторы a, b, m и n.

Из уравнений a=5m+4n и b=2m+n можно выразить векторы m и n следующим образом:

m = (a - 4n) / 5 n = b - 2m

Подставим выражение для m в уравнение для n:

n = b - 2((a - 4n) / 5) n = b - (2a - 8n) / 5 5n = 5b - 2a + 8n -3n = 5b - 2a n = (2a - 5b) / 3

Теперь подставим выражение для n в уравнение для m:

m = (a - 4((2a - 5b) / 3)) / 5 m = (3a - 8a + 20b) / 15 m = (-5a + 20b) / 15 m = (-a + 4b) / 3

Таким образом, векторы m и n можно выразить через векторы a и b следующим образом: m = (-a + 4b) / 3 n = (2a - 5b) / 3