Верно ли утверждение,что плоскости параллельны,если две прямые,лежащие в одной плоскости,соответственно...

Да, верно. Если две прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости также будут параллельны.

Да, данное утверждение верно. Если две прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны двум прямым другой плоскости, то эти две плоскости также будут параллельны. Это следует из свойства параллельных прямых, которые не пересекаются ни в одной точке, а следовательно, их продолжения (плоскости) также не будут пересекаться. Таким образом, если прямые параллельны, то и плоскости, содержащие их, также будут параллельны.

Утверждение, что плоскости параллельны, если две прямые, лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, является верным. Давайте разберем это утверждение подробнее и объясним, почему оно таково.

Теоретическая база

1. Параллельные прямые: Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются, что эквивалентно утверждению, что их направляющие векторы коллинеарны (имеют одинаковое направление или противоположное).

2. Параллельность плоскостей: Две плоскости называются параллельными, если они либо не имеют общих точек, либо совпадают. Более формально, плоскости параллельны, если нормальные векторы этих плоскостей коллинеарны.

Доказательство утверждения

Чтобы доказать, что плоскости параллельны при условии параллельности двух пар прямых, рассмотрим следующие шаги:

1. Обозначения: Пусть у нас есть две плоскости (\alpha) и (\beta). В плоскости (\alpha) лежат прямые (l_1) и (l_2), а в плоскости (\beta) лежат прямые (m_1) и (m_2).

2. Параллельность прямых:

   • (l_1 \parallel m_1) (прямая (l_1) параллельна прямой (m_1))
   • (l_2 \parallel m_2) (прямая (l_2) параллельна прямой (m_2))

3. Направляющие векторы: Направляющие векторы параллельных прямых также будут коллинеарны. Пусть (\mathbf{v}_1) и (\mathbf{v}_2) — направляющие векторы прямых (l_1) и (l_2) соответственно, а (\mathbf{w}_1) и (\mathbf{w}_2) — направляющие векторы прямых (m_1) и (m_2).

   • (\mathbf{v}_1 \parallel \mathbf{w}_1) (векторы (\mathbf{v}_1) и (\mathbf{w}_1) коллинеарны)
   • (\mathbf{v}_2 \parallel \mathbf{w}_2) (векторы (\mathbf{v}_2) и (\mathbf{w}_2) коллинеарны)

4. Нормальные векторы плоскостей: Чтобы проверить параллельность плоскостей, рассмотрим нормальные векторы к плоскостям (\alpha) и (\beta). Нормальный вектор к плоскости можно найти как векторное произведение направляющих векторов двух непараллельных прямых, лежащих в этой плоскости.

   • Нормальный вектор к плоскости (\alpha) можно обозначить как (\mathbf{n}_\alpha = \mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2).
   • Нормальный вектор к плоскости (\beta) можно обозначить как (\mathbf{n}_\beta = \mathbf{w}_1 \times \mathbf{w}_2).

5. Коллинеарность нормальных векторов: Так как (\mathbf{v}_1 \parallel \mathbf{w}_1) и (\mathbf{v}_2 \parallel \mathbf{w}_2), то векторное произведение (\mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2) будет коллинеарно векторному произведению (\mathbf{w}_1 \times \mathbf{w}2). Это означает, что нормальные векторы (\mathbf{n}\alpha) и (\mathbf{n}_\beta) будут коллинеарны.

6. Заключение: Поскольку нормальные векторы к плоскостям (\alpha) и (\beta) коллинеарны, это означает, что плоскости (\alpha) и (\beta) либо параллельны, либо совпадают. Таким образом, утверждение верно.

Вывод

Утверждение действительно верно: если две прямые в одной плоскости параллельны двум прямым в другой плоскости, то эти плоскости параллельны.