Вершины куба ABCDA1B1C1D1 имеют координаты A(3;0;0),B(0;0;0),C(0;3;0),B1(0;0;-3) а) Найдите координаты...

Итак, рассмотрим куб с вершинами ABCDA1B1C1D1, где известны координаты некоторых его вершин: ( A(3, 0, 0) ), ( B(0, 0, 0) ), ( C(0, 3, 0) ), ( B1(0, 0, -3) ).

а) Найдите координаты вершин ( A1 ) и ( D1 )

Для нахождения координат вершин ( A1 ) и ( D1 ), рассмотрим следующие свойства куба:

• Все рёбра куба равны по длине.
• Куб состоит из шести граней, каждая из которых представляет собой квадрат.
• Вершины куба расположены так, что каждая вершина соединена с тремя другими вершинами.

Вершины ( A1 ) и ( D1 ) должны лежать на тех же координатных плоскостях, что и остальные вершины, и быть на одинаковом расстоянии от соответствующих вершин.

Координаты вершины ( A1 ):

Пусть ( A1 ) имеет координаты ( (3, 0, -3) ). Мы можем определить это, так как ( A1 ) лежит на той же вертикальной линии, что и ( A ), но на уровне ( B1 ) по оси ( z ).

Координаты вершины ( D1 ):

Пусть ( D1 ) имеет координаты ( (0, 3, -3) ). Мы можем определить это, так как ( D1 ) лежит на той же вертикальной линии, что и ( C ), но на уровне ( B1 ) по оси ( z ).

б) Разложите по координатным векторам ( \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k} ) вектор ( A1C )

Вектор ( A1C ) определяется координатами точек ( A1(3, 0, -3) ) и ( C(0, 3, 0) ).

Для нахождения вектора ( A1C ) вычтем координаты точки ( A1 ) из координат точки ( C ):

[ \mathbf{A1C} = C - A1 = (0 - 3, 3 - 0, 0 - (-3)) = (-3, 3, 3) ]

Теперь разложим вектор ( \mathbf{A1C} ) по координатным векторам ( \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k} ):

[ \mathbf{A1C} = -3\mathbf{i} + 3\mathbf{j} + 3\mathbf{k} ]

Таким образом, вектор ( \mathbf{A1C} ) можно представить в виде:

[ \mathbf{A1C} = -3\mathbf{i} + 3\mathbf{j} + 3\mathbf{k} ]

Это разложение показывает, что вектор ( \mathbf{A1C} ) имеет компоненты (-3) по оси ( x ), ( 3 ) по оси ( y ) и ( 3 ) по оси ( z ).

а) Для нахождения координат вершин A1 и D1 нужно использовать свойство куба, что противоположные вершины находятся на одинаковом расстоянии. Таким образом, координаты вершины A1 будут равны координатам вершины A, только знаки будут противоположные: A1(3;0;-3). Аналогично, координаты вершины D1 будут равны координатам вершины D, только знаки будут противоположные: D1(0;3;-3).

б) Для разложения вектора A1C по координатным векторам i, j, k нужно найти разницу между координатами конечной и начальной точек этого вектора. Для вектора A1C это будет: A1C = C - A1 = (0; 3; 0) - (3; 0; -3) = (-3; 3; 3).

Таким образом, вектор A1C можно представить как сумму трех векторов: -3i + 3j + 3k.