Вершины треугольника ABC имеют координаты A(-2,0,1), B(-1,2,3) C( 8,-4,9). Найти координаты вектора...

1. Координаты вектора ВМ: (-1, -1, 2)
2. Длина средней линии, параллельной стороне АВ: √10
3. Координаты точки Д: (-3, 6, 5)
4. Длина вектора: 6.708.

Часть 1: Координаты вектора BM, где BM - медиана треугольника ABC

Медиана треугольника делит противоположную сторону пополам. Пусть ( M ) - середина стороны ( AC ). Сначала найдем координаты точки ( M ):

[ M = \left(\frac{-2+8}{2}, \frac{0+(-4)}2, \frac{1+9}{2}\right) = \left(\frac{6}{2}, \frac{-4}{2}, \frac{10}{2}\right) = (3, -2, 5) ]

Теперь найдем координаты вектора ( \overrightarrow{BM} ):

[ \overrightarrow{BM} = M - B = (3 - (-1), -2 - 2, 5 - 3) = (3 + 1, -2 - 2, 5 - 3) = (4, -4, 2) ]

Часть 2: Длина средней линии, параллельной стороне AB

Средняя линия, параллельная стороне ( AB ), соединяет середины двух других сторон. Найдем ее длину. Пусть ( N ) - середина стороны ( BC ):

[ N = \left(\frac{-1+8}{2}, \frac{2+(-4)}2, \frac{3+9}{2}\right) = \left(\frac{7}{2}, \frac{-2}{2}, \frac{12}{2}\right) = (3.5, -1, 6) ]

Координаты вектора ( \overrightarrow{MN} ):

[ \overrightarrow{MN} = N - M = (3.5 - 3, -1 + 2, 6 - 5) = (0.5, 1, 1) ]

Длина вектора ( \overrightarrow{MN} ):

[ |\overrightarrow{MN}| = \sqrt{(0.5)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{0.25 + 1 + 1} = \sqrt{2.25} = 1.5 ]

Часть 3: Координаты точки D, где ABCD - параллелограмм

Чтобы найти ( D ), используем свойство параллелограмма ( \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} ):

[ \overrightarrow{BC} = C - B = (8 - (-1), -4 - 2, 9 - 3) = (8 + 1, -4 - 2, 9 - 3) = (9, -6, 6) ]

[ D = A + \overrightarrow{BC} = (-2, 0, 1) + (9, -6, 6) = (-2 + 9, 0 - 6, 1 + 6) = (7, -6, 7) ]

Часть 4: Длина вектора при заданных условиях

Даны векторы ( a ) и ( b ) с длинами 6 и 3 соответственно, угол между ними 120 градусов. Используем формулу для нахождения длины суммы двух векторов:

[ |a + b|^2 = |a|^2 + |b|^2 + 2|a||b|\cos(\theta) ] [ |a + b| = \sqrt{6^2 + 3^2 + 2 \cdot 6 \cdot 3 \cdot \cos(120^\circ)} ] [ \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} ] [ |a + b| = \sqrt{36 + 9 - 18} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} ]

Итак, длина вектора ( |a + b| ) равна ( 3\sqrt{3} ).

Для начала найдем координаты вектора BM, который является медианой треугольника ABC. Для этого найдем среднее арифметическое координат вершин B и C:

B: (-1, 2, 3) C: (8, -4, 9)

Средние координаты: ((-1+8)/2, (2-4)/2, (3+9)/2) = (3.5, -1, 6)

Теперь найдем координаты вектора BM, который идет от вершины B к точке M:

BM = (3.5 - (-1), -1 - 2, 6 - 3) = (4.5, -3, 3)

Длина средней линии, параллельной стороне AB, равна длине вектора BM, то есть sqrt(4.5^2 + (-3)^2 + 3^2) = sqrt(20.25 + 9 + 9) = sqrt(38.25) ≈ 6.19

Чтобы найти координаты точки D, где ABCD - параллелограмм, нужно найти вершину D, которая находится на противоположной стороне треугольника ABC от вершины A. Так как D должна быть на той же расстоянии от вершины B, что и C, то координаты D можно найти следующим образом:

D: (8 + (-2), -4 - 0, 9 + 1) = (6, -4, 10)

Наконец, чтобы найти длину вектора с направлением, заданным векторами a = 6 и b = 3, нужно вычислить:

|a x b| = sqrt((63)^2 + (63)^2 + (6*3)^2) = sqrt(324 + 324 + 324) = sqrt(972) = 9√3 ≈ 15.59

Таким образом, длина вектора с направлением, заданным векторами a и b, равна примерно 15.59.