Вершины треугольника авс лежат на сфере радиусом 13 см. найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если ав=6, вс=8, ас=10
Вершины треугольника авс лежат на сфере радиусом 13 см. найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если ав=6, вс=8, ас=10
Для решения задачи найдем сначала площадь треугольника ABC. Учитывая, что стороны треугольника ( AB = 6 ), ( BC = 8 ) и ( AC = 10 ), проверим, является ли треугольник прямоугольным.
Проверим теорему Пифагора:
[ AB^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100, ] [ AC^2 = 10^2 = 100. ]
Таким образом, треугольник ABC — прямоугольный, с гипотенузой AC.
Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле:
[ S = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24 \, \text{см}^2. ]
Теперь найдем расстояние от центра сферы до плоскости треугольника. Поскольку вершины треугольника лежат на сфере радиусом 13 см, центр сферы — это центр описанной сферы вокруг треугольника.
Расстояние от центра сферы до плоскости треугольника можно найти, используя формулу для высоты (расстояния) ( h ) от центра описанной окружности до плоскости треугольника:
[ h = \sqrt{R^2 - r^2}, ]
где ( R ) — радиус сферы (13 см), а ( r ) — радиус вписанной окружности треугольника.
Радиус вписанной окружности ( r ) для треугольника можно найти через площадь и полупериметр:
Полупериметр ( p ) треугольника:
[ p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{6 + 8 + 10}{2} = 12. ]
Радиус вписанной окружности:
[ r = \frac{S}{p} = \frac{24}{12} = 2 \, \text{см}. ]
Теперь подставим значения в формулу для ( h ):
[ h = \sqrt{R^2 - r^2} = \sqrt{13^2 - 2^2} = \sqrt{169 - 4} = \sqrt{165}. ]
Таким образом, расстояние от центра сферы до плоскости треугольника равно ( \sqrt{165} \, \text{см} ).
Для решения данной задачи нам необходимо использовать свойство сферы, что любая ее плоскость является касательной к сфере в точке касания. Так как треугольник авс лежит на сфере радиусом 13 см, то описанная окружность этого треугольника с центром в центре сферы также имеет радиус 13 см.
Далее, построим вспомогательный треугольник вос с вершинами в центре сферы (центр описанной окружности треугольника авс), в точке касания плоскости треугольника сферы и в вершине одного из сторон треугольника (например, в точке в). Таким образом, треугольник вос является прямоугольным, где во=13, вс=8, а во=6.
Используем теорему Пифагора для треугольника вос: во^2 = вс^2 + вс
Расстояние от центра сферы до плоскости треугольника равно 5 см.
