Вычисли периметр треугольника CAB, если FC — медиана и известно, что BC=30см,FA=25см и AC=40см. P(CAB)=

Для вычисления периметра треугольника CAB, нам необходимо найти длину стороны AB. У нас есть следующая информация:

• Длина стороны BC = 30 см
• Длина медианы FA = 25 см
• Длина стороны AC = 40 см

Так как FA — медиана, она делит сторону BC на две равные части. Обозначим точки пересечения медианы и стороны BC как точку D. Тогда BD = DC = 15 см (половина от 30 см).

Теперь мы можем использовать теорему о медиане, которая утверждает, что длина медианы ( m_a ) (в нашем случае FA) может быть вычислена по формуле:

[ m_a = \frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2} ]

где ( a ) — длина стороны, к которой проведена медиана (в нашем случае BC), ( b ) и ( c ) — длины других сторон (AC и AB соответственно).

Подставив известные значения в формулу, получаем:

[ 25 = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 40^2 + 2 \cdot AB^2 - 30^2} ]

Умножим обе стороны уравнения на 2:

[ 50 = \sqrt{2 \cdot 1600 + 2 \cdot AB^2 - 900} ]

Квадратируем обе стороны:

[ 2500 = 3200 + 2 \cdot AB^2 - 900 ]

Упрощаем уравнение:

[ 2500 = 2300 + 2 \cdot AB^2 ]

[ 2500 - 2300 = 2 \cdot AB^2 ]

[ 200 = 2 \cdot AB^2 ]

[ 100 = AB^2 ]

Теперь находим длину стороны AB:

[ AB = \sqrt{100} = 10 \text{ см} ]

Теперь мы можем найти периметр треугольника CAB, который складывается из длин всех его сторон:

[ P(CAB) = AB + AC + BC ] [ P(CAB) = 10 + 40 + 30 = 80 \text{ см} ]

Таким образом, периметр треугольника CAB равен 80 см.

Чтобы найти периметр треугольника ( \triangle CAB ), нам нужно знать длины всех его сторон: ( AB ), ( BC ) и ( AC ). В задаче уже известны длины ( BC = 30 \, \text{см} ) и ( AC = 40 \, \text{см} ). Остаётся найти длину стороны ( AB ).

Дано:

• ( BC = 30 \, \text{см} ),
• ( AC = 40 \, \text{см} ),
• ( FC ) — медиана, то есть делит сторону ( AB ) пополам,
• ( FA = 25 \, \text{см} ).

Решение:

Медиана треугольника обладает важным свойством: квадрат её длины можно выразить через длины сторон треугольника. Для медианы ( FC ), проведённой к стороне ( AB ), справедлива формула:

[ FC^2 = \frac{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}{4}. ]

Подставим известные данные в эту формулу. Длину ( FC ) выразим через известный отрезок ( FA ), так как медиана ( FC ) по определению равна ( FA ). Следовательно, ( FC = 25 \, \text{см} ). Тогда:

[ 25^2 = \frac{2AB^2 + 2 \cdot 40^2 - 30^2}{4}. ]

Преобразуем уравнение:

1. Вычислим квадраты: [ 25^2 = 625, \, 40^2 = 1600, \, 30^2 = 900. ]

2. Подставим значения: [ 625 = \frac{2AB^2 + 2 \cdot 1600 - 900}{4}. ]

3. Упростим выражение под дробью: [ 625 = \frac{2AB^2 + 3200 - 900}{4}. ]

   [ 625 = \frac{2AB^2 + 2300}{4}. ]

4. Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от дроби: [ 2500 = 2AB^2 + 2300. ]

5. Вычтем ( 2300 ) из обеих частей: [ 200 = 2AB^2. ]

6. Разделим на 2: [ AB^2 = 100. ]

7. Найдём ( AB ): [ AB = \sqrt{100} = 10 \, \text{см}. ]

Периметр треугольника:

Теперь найдём периметр ( P(CAB) ), сложив длины всех сторон:

[ P(CAB) = AB + BC + AC. ]

Подставим значения: [ P(CAB) = 10 + 30 + 40 = 80 \, \text{см}. ]

Ответ:

Периметр треугольника ( \triangle CAB ) равен ( 80 \, \text{см} ).