Вычислите площадь определенной поверхности правильной 4-угольной призмы диагональ которой 12√3см и наклонена...

Для вычисления площади поверхности правильной 4-угольной призмы с диагональю длиной 12√3 см, наклоненной под углом 30° к плоскости основания, нужно использовать формулу для вычисления площади боковой поверхности призмы.

Площадь боковой поверхности правильной 4-угольной призмы равна половине произведения периметра основания на высоту. В данном случае основание призмы - это ромб, у которого диагональ равна 12√3 см. Поскольку угол наклона к плоскости основания составляет 30°, можно вычислить высоту призмы, используя тригонометрические функции.

Высота призмы h = длина диагонали основания sin(30°) h = 12√3 sin(30°) h = 12√3 * 0.5 h = 6√3 см

Периметр основания призмы P = 4 сторона основания Так как у правильного ромба все стороны равны, то сторона основания равна длине одной из его сторон. Используем теорему Пифагора для нахождения стороны основания: сторона^2 + сторона^2 = диагональ^2 2 сторона^2 = (12√3)^2 2 * сторона^2 = 432 сторона^2 = 216 сторона = √216 сторона = 6√6 см

Теперь можем найти периметр основания: P = 4 * 6√6 P = 24√6 см

Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности призмы: Sбок = 0.5 P h Sбок = 0.5 24√6 6√3 Sбок = 72√18 Sбок = 72 * 3 Sбок = 216 см²

Таким образом, площадь боковой поверхности правильной 4-угольной призмы равна 216 квадратным сантиметрам.

Для решения этой задачи нужно определить площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной призмы, зная диагональ призмы и угол её наклона к плоскости основания.

Шаг 1: Понимание структуры призмы

Правильная четырёхугольная призма имеет квадратное основание. Обозначим сторону основания за ( a ) и высоту призмы за ( h ).

Шаг 2: Разбор диагонали призмы

Диагональ призмы ( d ) наклонена под углом ( 30^\circ ) к плоскости основания. В данном случае диагональ призмы соединяет противоположные вершины верхнего и нижнего основания.

Шаг 3: Использование тригонометрии

Так как диагональ наклонена под углом ( 30^\circ ), мы можем использовать горизонтальную и вертикальную составляющие диагонали:

1. Горизонтальная составляющая диагонали лежит в плоскости основания и равна диагонали квадрата основания, то есть ( a\sqrt{2} ).
2. Вертикальная составляющая равна высоте призмы ( h ).

Итак, диагональ призмы может быть выражена через её составляющие: [ d = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 + h^2} ]

Шаг 4: Использование угла наклона

Поскольку диагональ наклонена под углом ( 30^\circ ), можно выразить вертикальную составляющую через синус угла: [ h = d \sin(30^\circ) = \frac{d}{2} ]

Подставляя значение диагонали: [ 12\sqrt{3} = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 + \left(\frac{12\sqrt{3}}{2}\right)^2} ]

Шаг 5: Решение уравнения

Подставим и упростим: [ 12\sqrt{3} = \sqrt{2a^2 + 36} ]

Квадрат обеих сторон: [ 432 = 2a^2 + 36 ]

Упростим: [ 396 = 2a^2 ]

Таким образом: [ a^2 = 198 \quad \Rightarrow \quad a = \sqrt{198} = 3\sqrt{22} ]

Шаг 6: Найдите высоту

Из уравнения: [ h = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} ]

Шаг 7: Площадь боковой поверхности

Площадь боковой поверхности призмы равна периметру основания, умноженному на высоту: [ S_{\text{боковая}} = 4a \times h = 4 \times 3\sqrt{22} \times 6\sqrt{3} ]

Упростим: [ S_{\text{боковая}} = 72 \sqrt{66} \, \text{см}^2 ]

Ответ

Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной призмы составляет ( 72 \sqrt{66} \, \text{см}^2 ).