Вычислите угол между прямыми AB и CD,если A(1;1;0),B(3;-1;0),C(4;-1;2),D(0;1;0)

Для вычисления угла между прямыми AB и CD необходимо найти направляющие векторы этих прямых и затем воспользоваться формулой для нахождения угла между векторами.

Направляющий вектор прямой AB можно найти как разность координат векторов B и A: AB = B - A = (3 - 1; -1 - 1; 0 - 0) = (2; -2; 0)

Направляющий вектор прямой CD можно найти аналогичным образом: CD = D - C = (0 - 4; 1 + 1; 0 - 2) = (-4; 2; -2)

Теперь найдем угол между векторами AB и CD по формуле: cos(θ) = (AB CD) / (|AB| |CD|)

Где AB * CD - скалярное произведение векторов AB и CD, |AB| и |CD| - длины векторов AB и CD.

AB CD = 2 -4 + (-2) 2 + 0 (-2) = -8 - 4 = -12 |AB| = √(2^2 + (-2)^2 + 0^2) = √(4 + 4) = √8 |CD| = √((-4)^2 + 2^2 + (-2)^2) = √(16 + 4 + 4) = √24

cos(θ) = -12 / (√8 √24) = -12 / (4√2 2√6) = -12 / (8√12) = -3 / (2√3)

θ = arccos(-3 / (2√3))

Подставляя значение в тригонометрическую функцию arccos, получаем значение угла между прямыми AB и CD.

Для вычисления угла между прямыми AB и CD сначала найдем направляющие векторы этих прямых. Вектор AB можно определить как разность координат точки B и точки A, а вектор CD как разность координат точки D и точки C.

Вектор AB: ( \overrightarrow{AB} = B - A = (3 - 1, -1 - 1, 0 - 0) = (2, -2, 0) )

Вектор CD: ( \overrightarrow{CD} = D - C = (0 - 4, 1 - (-1), 0 - 2) = (-4, 2, -2) )

Теперь нам нужно найти косинус угла между этими векторами. Для этого используем скалярное произведение векторов и их длины (модули).

Скалярное произведение векторов: ( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = (2, -2, 0) \cdot (-4, 2, -2) = (2 \cdot -4) + (-2 \cdot 2) + (0 \cdot -2) = -8 - 4 + 0 = -12 )

Длина вектора AB: ( |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 4 + 0} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} )

Длина вектора CD: ( |\overrightarrow{CD}| = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} )

Косинус угла между векторами: ( \cos \theta = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{CD}|} = \frac{-12}{2\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{6}} = \frac{-12}{4\sqrt{12}} = \frac{-12}{4 \cdot 2\sqrt{3}} = \frac{-12}{8\sqrt{3}} = \frac{-3}{2\sqrt{3}} = \frac{-3\sqrt{3}}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} )

Теперь найдём угол ( \theta ): ( \cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2} )

Угол ( \theta ), для которого косинус равен (-\frac{\sqrt{3}}{2}), составляет ( 150^\circ ) или ( 210^\circ ) (в зависимости от направления), но в стандартной геометрии рассматривается угол в диапазоне от (0^\circ) до (180^\circ), поэтому правильный ответ:

Угол между прямыми AB и CD равен ( 150^\circ ).