Вычислите угол между прямыми АВ и СD если А(5;-8;-1),В(6;-8;-2),С(7;-5;-11) D(7;-7;-9)

Для того чтобы найти угол между прямыми, необходимо найти направляющие векторы для каждой из прямых, а затем использовать формулу для нахождения угла между векторами.

Направляющие векторы для прямых АВ и СD можно найти как разность координат точек, через которые проходят прямые. Для прямой АВ направляющим вектором будет вектор AB(6-5; -8+8; -2+1) = (1; 0; -1), для прямой CD - вектор CD(7-7; -7+5; -9+11) = (0; -2; 2).

Затем находим угол между векторами по формуле cos(α) = (AB CD) / (|AB| |CD|), где AB * CD - скалярное произведение векторов, |AB| и |CD| - длины векторов.

AB CD = 10 + 0(-2) + (-1)2 = -2, |AB| = sqrt(1^2 + 0^2 + (-1)^2) = sqrt(2), |CD| = sqrt(0^2 + (-2)^2 + 2^2) = sqrt(8).

Теперь подставляем значения в формулу: cos(α) = (-2) / (sqrt(2) sqrt(8)) = -2 / (2 sqrt(2)) = -1 / sqrt(2) = -sqrt(2) / 2. Значит, угол между прямыми АВ и CD равен 135 градусов.

Чтобы вычислить угол между прямыми AB и CD, сначала найдем направляющие векторы этих прямых.

Для прямой AB:

• Точка A имеет координаты (5, -8, -1)
• Точка B имеет координаты (6, -8, -2)

Направляющий вектор (\overrightarrow{AB}) можно найти, вычитая соответствующие координаты точки A из координат точки B:

[ \overrightarrow{AB} = (6 - 5, -8 - (-8), -2 - (-1)) = (1, 0, -1) ]

Для прямой CD:

• Точка C имеет координаты (7, -5, -11)
• Точка D имеет координаты (7, -7, -9)

Направляющий вектор (\overrightarrow{CD}) можно найти аналогично:

[ \overrightarrow{CD} = (7 - 7, -7 - (-5), -9 - (-11)) = (0, -2, 2) ]

Теперь, когда у нас есть направляющие векторы (\overrightarrow{AB}) и (\overrightarrow{CD}), мы можем использовать скалярное произведение для вычисления косинуса угла (\theta) между ними. Формула для скалярного произведения двух векторов (\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)) и (\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)) и косинуса угла между ними:

[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 ]

[ \cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|} ]

Где (|\mathbf{a}|) и (|\mathbf{b}|) — длины векторов (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}).

Рассчитаем скалярное произведение (\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}):

[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot (-2) + (-1) \cdot 2 = 0 - 2 = -2 ]

Теперь найдём длины векторов (\overrightarrow{AB}) и (\overrightarrow{CD}):

[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} ]

[ |\overrightarrow{CD}| = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} ]

Теперь подставим значения в формулу для косинуса угла:

[ \cos \theta = \frac{-2}{\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{-2}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} ]

Следовательно, угол (\theta) равен:

[ \theta = \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) ]

Угол, косинус которого равен (-\frac{1}{2}), равен (120^\circ) или (\frac{2\pi}{3}) радиан.

Таким образом, угол между прямыми AB и CD равен (120^\circ).

Для вычисления угла между прямыми АВ и CD можно использовать формулу:

cos(θ) = (AB CD) / (|AB| |CD|),

где AB и CD - векторы, соединяющие начальные и конечные точки прямых.

AB = B - A = (6 - 5; -8 + 8; -2 + 1) = (1; 0; -1), CD = D - C = (7 - 7; -7 + 5; -9 + 11) = (0; -2; 2).

Теперь найдем скалярное произведение AB и CD: AB CD = 1 0 + 0 -2 + -1 2 = 0 - 0 - 2 = -2.

Посчитаем длины векторов AB и CD: |AB| = √(1^2 + 0^2 + (-1)^2) = √(1 + 0 + 1) = √2, |CD| = √(0^2 + (-2)^2 + 2^2) = √(0 + 4 + 4) = √8 = 2√2.

Теперь можно подставить значения в формулу: cos(θ) = -2 / (2√2) = -1 / √2 = -√2 / 2.

Угол между прямыми АВ и CD равен углу, косинус которого равен -√2 / 2.