Высота цилиндра равна 8 см диагональ его осевого сечения образует с плоскостью основания угол 30 градусов.Найти:...

1. Радиус основания цилиндра: Пусть радиус основания цилиндра равен r. Так как диагональ его осевого сечения образует угол 30 градусов с плоскостью основания, то можем составить прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза равна 8 см, один из катетов равен r, а угол между гипотенузой и этим катетом равен 30 градусов. Тогда по теореме синусов: sin(30°) = r/8 r = 8 sin(30°) = 8 0.5 = 4 см

2. Площадь осевого сечения цилиндра: Площадь осевого сечения цилиндра равна площади круга с радиусом r: S = πr^2 = π*4^2 = 16π см^2

3. Площадь боковой поверхности и объем цилиндра: Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению высоты на окружность основания: Sб = 2πrh = 2π48 = 64π см^2 Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту: V = πr^2h = π4^28 = 128π см^3

Таким образом, радиус основания цилиндра равен 4 см, площадь осевого сечения цилиндра равна 16π см^2, площадь боковой поверхности цилиндра равна 64π см^2, а объем цилиндра равен 128π см^3.

Конечно, давайте разберем задачу по шагам.

1. Найти радиус основания цилиндра

Для начала рассмотрим осевое сечение цилиндра. Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, одна из сторон которого равна высоте цилиндра ( h ), а другая сторона равна диаметру основания ( 2r ).

Также известно, что диагональ осевого сечения образует с плоскостью основания угол ( 30^\circ ). Обозначим диагональ осевого сечения как ( d ).

В этом случае, диагональ прямоугольника ( d ) можно найти по теореме Пифагора: [ d = \sqrt{(2r)^2 + h^2} ]

Зная угол ( 30^\circ ), мы можем воспользоваться тригонометрией. В прямоугольном треугольнике, где ( d ) — гипотенуза, и ( h ) — противолежащий катет: [ \sin(30^\circ) = \frac{h}{d} ]

Так как (\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}), то уравнение примет вид: [ \frac{1}{2} = \frac{h}{d} ]

Подставим значение высоты ( h ): [ \frac{1}{2} = \frac{8}{d} ]

Решим это уравнение для ( d ): [ d = 16 ]

Теперь подставим значение ( d ) в уравнение для диагонали: [ 16 = \sqrt{(2r)^2 + 8^2} ]

Решим уравнение для радиуса ( r ): [ 16^2 = (2r)^2 + 8^2 ] [ 256 = 4r^2 + 64 ] [ 4r^2 = 192 ] [ r^2 = 48 ] [ r = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} ]

2. Найти площадь осевого сечения цилиндра

Осевое сечение цилиндра — прямоугольник со сторонами ( 2r ) и ( h ). Площадь прямоугольника: [ S = 2r \times h ]

Подставим найденные значения: [ S = 2 \times 4\sqrt{3} \times 8 ] [ S = 8\sqrt{3} \times 8 ] [ S = 64\sqrt{3} \,\text{см}^2 ]

3. Найти площадь полной поверхности и объем цилиндра

Площадь полной поверхности

Площадь полной поверхности цилиндра состоит из площади боковой поверхности и двух оснований.

Площадь боковой поверхности: [ S_{\text{боковая}} = 2\pi rh ]

Подставим значения: [ S{\text{боковая}} = 2\pi \times 4\sqrt{3} \times 8 ] [ S{\text{боковая}} = 64\pi\sqrt{3} ]

Площадь одного основания: [ S{\text{основания}} = \pi r^2 ] [ S{\text{основания}} = \pi (4\sqrt{3})^2 ] [ S{\text{основания}} = \pi \times 48 ] [ S{\text{основания}} = 48\pi ]

Площадь двух оснований: [ S{\text{2 основания}} = 2 \times 48\pi ] [ S{\text{2 основания}} = 96\pi ]

Полная площадь поверхности: [ S{\text{полная}} = S{\text{боковая}} + S{\text{2 основания}} ] [ S{\text{полная}} = 64\pi\sqrt{3} + 96\pi ] [ S_{\text{полная}} = \pi(64\sqrt{3} + 96) ]

Объем цилиндра

Объем цилиндра: [ V = \pi r^2 h ]

Подставим значения: [ V = \pi (4\sqrt{3})^2 \times 8 ] [ V = \pi \times 48 \times 8 ] [ V = 384\pi ]

Результаты

1. Радиус основания цилиндра: ( r = 4\sqrt{3} \,\text{см} )
2. Площадь осевого сечения цилиндра: ( 64\sqrt{3} \,\text{см}^2 )
3. Площадь полной поверхности: ( \pi(64\sqrt{3} + 96) \,\text{см}^2 )
4. Объем цилиндра: ( 384\pi \,\text{см}^3 )

Надеюсь, это поможет!