Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна 6 см и делит гипотенузу на отрезки,...

Для нахождения длины гипотенузы прямоугольного треугольника воспользуемся свойствами прямоугольных треугольников и теоремой о высоте, проведенной к гипотенузе.

Дано:

• Высота ( h ), проведенная к гипотенузе, равна ( 6 \, \text{см} );
• Гипотенуза делится высотой на два отрезка, длины которых относятся как ( 4:1 ).

Обозначим:

• Гипотенузу ( c );
• Отрезки гипотенузы, на которые делится она высотой: ( x ) и ( y ), где ( x : y = 4 : 1 ). Тогда ( x = 4k ) и ( y = k ) для некоторого ( k > 0 ).

Отсюда длина гипотенузы ( c ) равна: [ c = x + y = 4k + k = 5k. ]

Свойство высоты в прямоугольном треугольнике:

Высота, проведенная к гипотенузе, является средним геометрическим двух отрезков, на которые она делит гипотенузу. То есть: [ h^2 = x \cdot y. ]

Подставим известные значения: [ 6^2 = x \cdot y. ]

Подставим ( x = 4k ) и ( y = k ): [ 36 = (4k) \cdot k. ]

Упростим: [ 36 = 4k^2. ]

Найдем ( k^2 ): [ k^2 = \frac{36}{4} = 9. ]

Найдем ( k ): [ k = \sqrt{9} = 3. ]

Найдем длину гипотенузы:

[ c = 5k = 5 \cdot 3 = 15 \, \text{см}. ]

Ответ:

Длина гипотенузы равна ( 15 \, \text{см} ).

Для решения задачи начнем с обозначения необходимых величин. Обозначим гипотенузу треугольника как ( c ), а отрезки, на которые высота делит гипотенузу, обозначим как ( x ) и ( y ), где ( x ) — это отрезок, к которому высота проведена, а ( y ) — другой отрезок.

Согласно условию, отношение длин этих отрезков равно 4:1, что можно записать как:

[ \frac{x}{y} = 4 \implies x = 4y ]

Также известно, что сумма этих отрезков равна длине гипотенузы:

[ c = x + y = 4y + y = 5y ]

Теперь применим теорему о высоте к гипотенузе прямоугольного треугольника. Для высоты ( h ), проведенной к гипотенузе, справедливо следующее соотношение:

[ h^2 = x \cdot y ]

В нашем случае высота ( h = 6 ) см, поэтому:

[ 6^2 = x \cdot y \implies 36 = x \cdot y ]

Теперь подставим выражение для ( x ) из первого уравнения:

[ 36 = (4y) \cdot y \implies 36 = 4y^2 \implies y^2 = 9 \implies y = 3 \, \text{(так как длина не может быть отрицательной)} ]

Теперь найдем ( x ):

[ x = 4y = 4 \cdot 3 = 12 ]

Теперь мы можем найти длину гипотенузы ( c ):

[ c = x + y = 12 + 3 = 15 \, \text{см} ]

Таким образом, гипотенуза прямоугольного треугольника равна ( 15 ) см.