Высота правильной четырехугольной пирамиды равна корень из шести см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60°. а) Найдите боковое ребро пирамиды. б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Высота правильной четырехугольной пирамиды равна корень из шести см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60°. а) Найдите боковое ребро пирамиды. б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Для решения задачи сначала разберемся с составляющими правильной четырехугольной пирамиды. В такой пирамиде основание представляет собой квадрат, а все боковые грани — равнобедренные треугольники, которые равны между собой.
Пусть ( S ) — вершина пирамиды, ( ABCD ) — квадратное основание. Высота пирамиды ( SO = \sqrt{6} ) см, где ( O ) — центр основания. Боковое ребро ( SA ) наклонено к плоскости основания под углом ( 60^\circ ).
По определению, угол между боковым ребром и плоскостью основания равен углу между боковым ребром и его проекцией на плоскость основания. Проекция бокового ребра ( SA ) на плоскость основания — это отрезок ( OA ), где ( O ) — центр квадрата.
Используем тригонометрическое соотношение: [ \cos 60^\circ = \frac{SO}{SA} ] [ \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{SA} ] Отсюда находим: [ SA = 2 \cdot \sqrt{6} = 2\sqrt{6} ]
Для этого нам нужно сначала найти сторону основания ( a ) и апофему боковой грани.
Так как ( O ) — центр квадрата, то треугольник ( SOA ) прямоугольный с гипотенузой ( SA ) и катетами ( SO ) и ( OA ). Найдем ( OA ): [ OA = \sqrt{SA^2 - SO^2} = \sqrt{(2\sqrt{6})^2 - (\sqrt{6})^2} = \sqrt{24 - 6} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} ]
Поскольку ( OA ) — половина диагонали квадрата, то сторона квадрата: [ a = OA \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 6 ]
Теперь найдем апофему ( AM ) треугольника ( SAB ) (где ( M ) — средняя точка ( AB )): [ AM = \sqrt{SA^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{(2\sqrt{6})^2 - 3^2} = \sqrt{24 - 9} = \sqrt{15} ]
Площадь одной боковой грани (равнобедренного треугольника): [ S_{\text{грань}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot AM = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{15} = 3\sqrt{15} ]
Поскольку пирамида имеет четыре равные боковые грани, площадь боковой поверхности: [ S_{\text{бок}} = 4 \cdot 3\sqrt{15} = 12\sqrt{15} ]
Таким образом, боковое ребро пирамиды равно ( 2\sqrt{6} ) см, а площадь боковой поверхности равна ( 12\sqrt{15} ) см².
а) Для нахождения бокового ребра пирамиды воспользуемся теоремой Пифагора. Пусть h - высота пирамиды, l - боковое ребро, a - сторона основания. Тогда прямоугольный треугольник, образованный высотой, половиной бокового ребра и половиной стороны основания, имеет следующие отношения: l^2 = h^2 + (a/2)^2 l^2 = 6 + (a/2)^2 l^2 = 6 + (a^2/4) l^2 = 6 + a^2/4
Так как сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна a, то можем записать: a^2 = 2l^2 a = √(2l^2) = l√2
b) Площадь боковой поверхности пирамиды можно найти по формуле: S = 1/2 периметр основания боковое ребро
Периметр основания правильной четырехугольной пирамиды равен 4a, поэтому: S = 1/2 4a l S = 2al
Подставляем значение a = l√2: S = 2l * l√2 S = 2l^2√2
Таким образом, боковое ребро пирамиды равно l, а площадь боковой поверхности равна 2l^2√2.
