Высота правильной треугольной пирамиды KLMN и сторона основания равны 5 и 7 соответственно. Найдите...

Чтобы найти тангенс угла между боковым ребром и плоскостью основания правильной треугольной пирамиды KLMN, сначала разберем основные элементы и их взаимосвязи.

1. Построение и обозначения:

   • Пусть вершина пирамиды — точка ( K ).
   • Основание пирамиды — правильный треугольник ( LMN ) со стороной ( a = 7 ).
   • Высота пирамиды ( K ) опущена на центр основания ( O ), и она равна ( h = 5 ).

2. Центр правильного треугольника ( LMN ):

   • Центр правильного треугольника ( O ) (центр вписанной окружности) делит высоту треугольника в отношении 2:1.
   • Высота правильного треугольника ( LMN ) вычисляется по формуле:
     [ h_{\triangle LMN} = \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{7 \sqrt{3}}{2} ]
   • Центр ( O ) находится на расстоянии (\frac{h_{\triangle LMN}}{3} = \frac{7 \sqrt{3}}{6}) от любой вершины треугольника.

3. Высота пирамиды и боковое ребро:

   • Высота пирамиды ( KO = 5 ).
   • Боковое ребро ( KL ) (или ( KM ), или ( KN )) можно найти, используя теорему Пифагора в треугольнике ( KOL ), где ( OL ) — расстояние от центра основания до вершины треугольника ( L ): [ OL = \frac{a \sqrt{3}}{3} = \frac{7 \sqrt{3}}{3} ]
   • Теперь найдём ( KL ): [ KL = \sqrt{KO^2 + OL^2} = \sqrt{5^2 + \left(\frac{7 \sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{25 + \frac{49}{3}} = \sqrt{\frac{75 + 49}{3}} = \sqrt{\frac{124}{3}} = \frac{\sqrt{124}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{31}}{\sqrt{3}} ]

4. Тангенс угла между боковым ребром и плоскостью основания:

   • Рассмотрим угол ( \theta ) между боковым ребром ( KL ) и плоскостью основания.
   • В прямоугольном треугольнике ( KOL ) угол ( \theta ) противолежит стороне ( KO ) и прилегает к ( OL ): [ \tan(\theta) = \frac{KO}{OL} = \frac{5}{\frac{7 \sqrt{3}}{3}} = \frac{5 \times 3}{7 \sqrt{3}} = \frac{15}{7 \sqrt{3}} = \frac{15 \sqrt{3}}{21} = \frac{5 \sqrt{3}}{7} ]

Таким образом, тангенс угла между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды равен ( \frac{5 \sqrt{3}}{7} ).

Для нахождения тангенса угла между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды воспользуемся формулой тангенса угла между двумя векторами:

tg(α) = |A x B| / (A * B),

где A и B - векторы, α - угол между ними, |A x B| - модуль векторного произведения A и B, а A * B - скалярное произведение векторов A и B.

Поскольку пирамида правильная, то угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 90 градусам. Таким образом, тангенс этого угла равен 1, так как tg(90°) = 1.

Ответ: тангенс угла между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды равен 1.