Высота правильной треугольной пирамиды KLMN и сторона основания равны 5 и 7 соответственно. Найдите...

Чтобы найти тангенс угла между боковым ребром и плоскостью основания правильной треугольной пирамиды KLMN, сначала разберем основные элементы и их взаимосвязи.

1. Построение и обозначения:

   • Пусть вершина пирамиды — точка $K$.
   • Основание пирамиды — правильный треугольник $LMN$ со стороной $a=7$.
   • Высота пирамиды $K$ опущена на центр основания $O$, и она равна $h=5$.

2. Центр правильного треугольника $LMN$:

   • Центр правильного треугольника $O$ $центрвписаннойокружности$ делит высоту треугольника в отношении 2:1.
   • Высота правильного треугольника $LMN$ вычисляется по формуле:
     $h_{\mathrm{△}LMN}=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{7\sqrt{3}}{2}$
   • Центр $O$ находится на расстоянии $\frac{h_{\mathrm{△}LMN}}{3}=\frac{7\sqrt{3}}{6}$ от любой вершины треугольника.

3. Высота пирамиды и боковое ребро:

   • Высота пирамиды $KO=5$.
   • Боковое ребро $KL$ $или(KM$, или $KN$) можно найти, используя теорему Пифагора в треугольнике $KOL$, где $OL$ — расстояние от центра основания до вершины треугольника $L$: $OL=\frac{a\sqrt{3}}{3}=\frac{7\sqrt{3}}{3}$
   • Теперь найдём $KL$: $KL=\sqrt{K{O}^2+O{L}^2}=\sqrt{5^2+{\left(\frac{7\sqrt{3}}{3}\right)}^2}=\sqrt{25+\frac{49}{3}}=\sqrt{\frac{75+49}{3}}=\sqrt{\frac{124}{3}}=\frac{\sqrt{124}}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{31}}{\sqrt{3}}$

4. Тангенс угла между боковым ребром и плоскостью основания:

   • Рассмотрим угол $\theta$ между боковым ребром $KL$ и плоскостью основания.
   • В прямоугольном треугольнике $KOL$ угол $\theta$ противолежит стороне $KO$ и прилегает к $OL$: $\tan (\theta )=\frac{KO}{OL}=\frac{5}{\frac{7\sqrt{3}}{3}}=\frac{5\times 3}{7\sqrt{3}}=\frac{15}{7\sqrt{3}}=\frac{15\sqrt{3}}{21}=\frac{5\sqrt{3}}{7}$

Таким образом, тангенс угла между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды равен $\frac{5\sqrt{3}}{7}$.

Для нахождения тангенса угла между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды воспользуемся формулой тангенса угла между двумя векторами:

tg$\alpha$ = |A x B| / $A\ast B$,

где A и B - векторы, α - угол между ними, |A x B| - модуль векторного произведения A и B, а A * B - скалярное произведение векторов A и B.

Поскольку пирамида правильная, то угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 90 градусам. Таким образом, тангенс этого угла равен 1, так как tg$90°$ = 1.

Ответ: тангенс угла между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды равен 1.